Eksponen dan Logaritma

Konsep eksponen dan logaritma berperan penting dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aritmatika sosial, peluruhan zat kimia, perkembangan bakteri dan lain-lain. Perhatikan masalah berikut !

Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tertentu, satu bakteri membelah menjadi $r$ bakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir $3$ jam adalah $10.000$ bakteri dan setelah $2$ jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi $40.000$ bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri dalam pada akhir $8$ jam.

Menemukan Konsep Eksponen

Konsep eksponen ditemukan dengan mengamati beberapa masalah nyata berikut dan mencermati beberapa alternatif penyelesaiannya. Perhatikan masalah berikut

Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang sama kertas hasil lipatan tadi. Lakukan terus-menerus pelipatan ini.  Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.

Definisi 1.1 

Misalkan $a$ bilangan real dan $n$ bilangan bulat positif. Notasi $a^{n}$ menyatakan hasil kali bilangan $a$ sebanyak $n$ faktor, dapat ditulis
\[
a^{n}=\underset{n\text{ faktor}}{\underbrace{a\times a\times a\times\cdots\times a}}
\]
dengan $a$ sebagai basis bilangan berpangkat dan $n$ sebagai pangkat.

* catatan: untuk $a^{1}$ cukup kita tulis $a$ saja

Perhatikan contoh sederhana berikut
1.  $2^{6}=\underset{\text{sebanyak }6\text{ kali}}{\underbrace{2\times2\times2\times2\times2\times2}}$

2.  $\dfrac{5^{6}}{5^{4}}=\dfrac{5\times5\times5\times5\times5\times5}{5\times5\times5\times5}=5\times5=5^{2}$

Contoh diatas tentunya bisa membuat anda sedikit memahami tentang eksponen.

Definisi 1.2

Untuk $a$ bilangan real dan $a\neq0$, $m$ bilangan bulat positif, didefinisikan
\[
a^{-m}=\left(\frac{1}{a}\right)^{m}
\]

Definisi di atas dijelaskan sebagai berikut:
\begin{eqnarray*}
a^{-m} & = & \left(\frac{1}{a}\right)^{m}=\underset{\text{sebanyak }m\text{ faktor}}{\underbrace{\left(\frac{1}{a}\right)\times\left(\frac{1}{a}\right)\times\left(\frac{1}{a}\right)\times\cdots\times\left(\frac{1}{a}\right)}}\\
& = & \underset{m\text{ faktor}}{\underbrace{\frac{1}{a\times a\times a\times\cdots\times a}}}\\
& = & \frac{1}{a^{m}}
\end{eqnarray*}

Contoh

#  Selesaikanlah $2^{-3}$
\begin{eqnarray*}
2^{-3}=\frac{1}{2^{3}} & = & \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\\
& = & \left(\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{1}{2}\right)\\
& = & \frac{1}{2\times2\times2}\\
& = & \frac{1}{8}
\end{eqnarray*}

#  Jika $x=-2$ dan $y=2$, tentukan nilai $x^{-3}\left(y^{4}\right)$
\[x^{-3}\left(y^{4}\right)=\frac{y^{4}}{x^{3}}=\frac{2^{4}}{\left(-2\right)^{3}}=\frac{16}{-8}=-2\]

Pangkat Nol 

Definisi 1.3 
Untuk $a$ bilangan real dan $a\neq0$, maka $a^{0}=1$.

# Silahkan anda buktikan mengapa semua bilangan (selain $0$) jika dipangkatkan dengan bilangan $0$ hasilnya adalah $1$.

# Apa yang terjadi Jika bilangan $0$ dipangkatkan dengan $0$ ? Apakah hasil dari bilangan itu ?

Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Sifat-1 

Jika $a$ bilangan real, $m$ dan $n$ bilangan bulat positif maka
\[a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\]

Contoh : 

 \[3^{7}\times3^{8}=3^{7+8}=3^{15}\]
\[2^{4}\times2^{-2}=2^{4+\left(-2\right)}=2^{4-2}=2^{2}\]

Sifat-2

Jika $a$ bilangan real dan $a\neq0$, $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, maka
\[\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\]

Perhatikan bahwa ada 3 kemungkinan nilai pada sifat-2 diatas yaitu

#. Jika $m>n$
#. Jika $m=n$ dan
#. Jika $m<n$

Sifat-3

Jika $a$ bilangan real dan $a\neq0$, $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, maka \[\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}\]

Contoh :

Berdasarkan sifat perkalian dengan bilangan $7$, tentukan angka satuan dari $7^{1234}$ tanpa menghitung tuntas.

Jawab : 

Gunakan sifat-sifat pangkat bulat positif yang sudah kita pelajari. Untuk lebih memudahkan analisis diberikan bantuan berupa tabel berikut

Perpangkatan $7$	Nilai	Angka Satuan
$7^1$	$7$	$7$
$7^2$	$49$	$9$
$7^3$	$343$	$3$
$7^4$	$2401$	$1$
$7^5$	$16807$	$7$
$7^6$	$117649$	$9$
$7^7$	$823543$	$3$
$7^8$	$5764801$	$1$

Terlihat bahwa\begin{eqnarray*}7^{1234} & = & \left(7^{4}\right)^{308}\times7^{2}\\7^{1234} & \equiv & 1^{308}\times7^{2}\left(\mod\,10\right)\\7^{1234} & \equiv & 1^{308}\times49\left(\mod\,10\right)\\7^{1234} & \equiv & 9\left(\mod\,10\right)\end{eqnarray*}Sehingga dapat disimpulkan bahwa angka satuan dari $7^{1234}=9$

Pangkat Pecahan

Definisi 1.4
Misalkan $a$ bilangan real dan $a\neq0$, $m$ bilangan bulat positif, maka $a^{\frac{1}{m}}=p$ adalah bilangan real positif, sehingga $p^{m}=a$

Contoh 

 \begin{eqnarray*}
\sqrt{9}=3 & \Rightarrow & 9^{\frac{1}{2}}=3\\
& \Rightarrow & \left(9^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=3^{2}\\
& \Rightarrow & \left(9^{\frac{1}{2}\times2}\right)=3^{2}\\
& \Rightarrow & 9=3^{2}
\end{eqnarray*}

Dalam Contoh ini, $a=9,m=2$ dan $p=3$

Definisi 1.5
Misalkan $a$ bilangan real dan $a\neq0$, $m,n$ bilangan bulat positif didefinisikan $a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}$

Sifat-4

Misalkan $a$ bilangan real dengan $a>0$, $\dfrac{p}{n}$ dan $\dfrac{m}{n}$ adalah bilangan pecahan $n\neq0$, maka $\left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{n}}\right)=a^{\frac{m+p}{n}}$

Sifat-5

Misalkan $a$ bilangan real dengan $a>0$, $\dfrac{m}{n}$ dan $\dfrac{p}{n}$ adalah bilangan pecahan $q,n\neq0$, maka $\left(a^{\frac{m}{n}}\right)\left(a^{\frac{p}{q}}\right)=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}$

Sekian dulu postingan saya kali ini. Mudah-mudahan ada manfaatnya. Meskipun kurang jelas dan terkesan asal-asalan nulis namun saya akan mencoba melengkapi di lain kesempatan. Terima Kasih.Sumber : Buku Matematika Kelas X Kurikulum 2013