Soal-Soal Tentang Polinomial (Lanjutan)

Melanjutkan postingan kemarin tentang polinomial pada halaman sebelumnya

4. Diketahui polinomial $x^2-2013x+k=0$. Kedua akarnya merupakan bilangan prima. Berapakah nilai dari $k$ ?

Penyelesaian:

$a+b=2013$ Karena akar-akarnya adalah bilangan prima, maka dengan mudah kita dapat menentukan nilai $a=2$ dan $b=2011$. Sehingga $$\begin{array}{rcl}a\cdot b& =& k\\ 2\cdot 2011& =& k\\ k& =& 4022\end{array}$$

5. Diberikan bilangan real $x,y,z$ yang memenuhi sistem persamaan
\begin{eqnarray*}
x+y+z & = & 6\
x^{2}+y^{2}+z^{2} & = & 26\
x^{3}+y^{3}+z^{3} & = & 90
\end{eqnarray*}Tentukan nilai dari $(x,y,z)$ !

Penyelesaian:
Sebelum menyelesaikan soal diatas terlebih dahulu kita perhatikan bahwa $$(a-x)(a-y)(a-z)=a^3-(x+y+z)a^2+(xy+yz+zx)a-xyz$$

Sekarang kita akan mencari koefisien dari $a$
$$\begin{array}{rcl}x+y+z& =& 6\\ x^2+y^2+z^2& =& 26\\ x^3+y^3+z^3& =& 90\end{array}$$$$\begin{array}{rcl}{(x+y+z)}^2& =& 6^2\\ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)& =& 36\\ 26+2(xy+yz+xz)& =& 36\\ 2(xy+yz+xz)& =& 10\\ (xy+yz+xz)& =& 5\end{array}$$$$\begin{array}{rcl}(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)& =& 6\cdot 26\\ x^3+y^3+z^3+x{y}^2+x{z}^2+x^{2}y+x^{2}z+y{z}^2+y^{2}z& =& 156\\ 90+x{y}^2+x{z}^2+x^{2}y+x^{2}z+y{z}^2+y^{2}z& =& 156\\ x{y}^2+x{z}^2+x^{2}y+x^{2}z+y{z}^2+y^{2}z& =& 156-90\\ x{y}^2+x{z}^2+x^{2}y+x^{2}z+y{z}^2+y^{2}z& =& 66\end{array}$$$$\begin{array}{rcl}(x+y+z)(xy+yz+xz)& =& 6\cdot 5\\ (x^{2}y+xyz+x^{2}z+x{y}^2+y^{2}z+xyz+xyz+y{z}^2+x{z}^2)& =& 30\\ x{y}^2+x{z}^2+x^{2}y+x^{2}z+y{z}^2+y^{2}z+3xyz& =& 30\\ 66+3xyz& =& 30\\ 3xyz& =& 30-66\\ 3xyz& =& -36\\ xyz& =& -12\end{array}$$ Sehingga dapat kita bentuk polinomial yang baru yaitu$$\begin{array}{rcl}{a}^3-6a^2+5a+12& =& 0\\ (a+1)(a-3)(a-4)& =& 0\\ a=-1& a=3& a=4\end{array}$$Jadi nilai $x=-1,y=3,z=4$

Selesai Dech............. Selamat menikmati..