Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Postingan kali ini akan mencoba membahas persamaan garis singgung lingkaran yang merupakan materi SMA kelas XI Kurikulum KTSP. Yang dimaksud dengan garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik atau lazimnya disebut garis yang menyinggung lingkaran baik itu lingkaran yang berpusat di titik $O\left(0,0\right)$ maupun lingkaran yang berpusat di titik $A\left(a,b\right)$. Nah, kalau masih di SMP kita hanya mencari panjang garis singgung saja. Nah pada tingkatan kali ini kita akan mencari persamaan garis singgung. Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan apabila diketahui satu di antara tiga keterangan berikut ini.

• Suatu titik pada lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui.
• Gradien garis singgung diketahui
• Suatu titik di luar lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Sebuah Titik Pada Lingkaran

Untuk Lingkaran yang Berpusat di $O\left(0,0\right)$ dan Jari-Jari $r$

Perhatikan gambar berikut, persamaan garis singgung $g$ dapat ditentukan sebagai berikut.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Berpusat di $O\left(0,0\right)$ dan jari-jari $r$

Gradien garis $OP$ adalah $m_{OP}=\dfrac{y_{1}}{x_{1}}$
Karena garis singgung $g$ tegak lurus $OP$ maka gradiennya
\[
m_{g}\cdot m_{OP}=-1\Longrightarrow m_{g}=-\frac{1}{m_{OP}}=-\frac{1}{\frac{y_{1}}{x_{1}}}=-\frac{x_{1}}{y_{1}}
\]
Persamaan garis singgung $g$ adalah :
\begin{eqnarray*}
y-y_{1} & = & m_{g}\left(x-x_{1}\right)\\
y-y_{1} & = & -\frac{x_{1}}{y_{1}}\left(x-x_{1}\right)\\
y_{1}y-y_{1}^{2} & = & -x_{1}x+x_{1}^{2}\\
x_{1}x+y_{1}y & = & x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\\
x_{1}x+y_{1}y & = & r^{2}
\end{eqnarray*}

Jadi, Persamaan garis singgung lingkaran $L\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}$ yang melalui titik $P\left(x_{1},y_{1}\right)$ pada lingkaran dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut $$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$$
Untuk lebih memahami persamaan diatas, lihatlah contoh berikut.

CONTOH


Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $L\equiv x^{2}+y^{2}=10$ yang melalui titik $\left(-3,1\right)$.

JAWAB

Titik $\left(-3,1\right)\Rightarrow x_{1}=-3$ dan $y_{1}=1$, terletak pada $L\equiv x^{2}+y^{2}=10$. Maka persamaan garis singgungnya adalah
\begin{eqnarray*}
x_{1}x+y_{1}y & = & r^{2}\\
\left(-3\right)x+\left(1\right)y & = & 10\\
-3x+y & = & 10
\end{eqnarray*}
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran $L\equiv x^{2}+y^{2}=10$ yang melalui titik $\left(-3,1\right)$ adalah $-3x+y=10$ $\blacksquare$