Soal-Soal Teori Bilangan

Berikut ini saya coba posting soal-soal tentang teori bilangan pokok bahasan kongruensi. Mari kita lihat soalnya.

1.  Buktikan bahwa $53^{103}+103^{53}$ habis dibagi $39$

Pada soal diatas kita berhadapan dengan bilangan yang cukup besar. Oleh karena itu teori kekongruenan sangat diperlukan dalam penyelesaikan soal ini. Dalam menyelesaikan soal ini kita berangkat dari bilangan yang kecil yaitu
\begin{eqnarray*}
53 & \equiv & 14\,(\text{mod }39)\\
53^{2} & \equiv & 1\,(\text{mod }39)
\end{eqnarray*} Karena
\begin{eqnarray*}\left(53\right)^{103}=\left(\left(53\right)^{2}\right)^{103}=\left(\left(53\right)^{2}\right)^{51}53 & \equiv & 1\cdot53\,(\text{mod }39)\\& \equiv & 14\,(\text{mod }39)\end{eqnarray*}
Selain itu
\begin{eqnarray*}
103 & \equiv & -14\,(\text{mod }39)\\
103^{2} & \equiv & 1\,(\text{mod }39)
\end{eqnarray*}Berdasarkan hasil ditas kita diperoleh bahwa
\begin{eqnarray*}
53^{103}+103^{53} & = & 14\,(\text{mod }39)-14\,(\text{mod }39)\\
& = & 0\,(\text{mod }39)
\end{eqnarray*}Yaitu terbukti habis dibagi $39$
2.  Tunjukkan bahwa $5555^{2222}+2222^{5555}$ habis dibagi $7$

Kalau kita melihat soal no 1 adalah bilangan yang cukup besar, maka kita melihat pada soal ini adalah bilangan sangat besar. Untuk menyelesaikan soal berikut mungkin tidak terlalu mudah. Akan tetapi dengan menerapkan kekongruenan maka soal ini akan terasa mudah penyelesaiannya. Perhatikan cara-caranya berikut

$$5555\equiv4\,(\text{mod }7)$$
Karena sisa dari pembagian tersebut adalah $4$ maka kita dapat memanfaatkan kekongruenan menjadi \begin{eqnarray*}
5555^{2} & \equiv & 4^{2}\,(\text{mod }7)\\
& = & 2\,(\text{mod }7)
\end{eqnarray*} disamping itu kita mempunyai
$$5555^{6}\equiv1\,(\text{mod }7)$$
Karena
\begin{eqnarray*}
5555^{2222} & = & \left(\left(5555\right)^{6}\right)^{370}\left(5555\right)^{2}\\
& \equiv & 1\cdot2\,(\text{mod }7)\\
& \equiv & 2\,(\text{mod }7)
\end{eqnarray*}
Selain itu
$$2222\equiv3\,(\text{mod }7)$$

Karena sisa dari pembagian tersebut adalah $3$ maka kita dapat memanfaatkan kekongruenan menjadi

\begin{eqnarray*}
2222^{5} & \equiv & 3^{5}\,(\text{mod }7)\\
2222^{5} & \equiv & 5\,(\text{mod }7)\\
2222^{6} & \equiv & 1\,(\text{mod }7)
\end{eqnarray*}
Karena
\begin{eqnarray*}
2222^{5555} & = & \left(\left(2222\right)^{6}\right)^{925}\left(2222\right)^{5}\\
& \equiv & 1\cdot5\,(\text{mod }7)\\
& \equiv & 5\,(\text{mod }7)
\end{eqnarray*}
Berdasarkan hasil ditas kita diperoleh bahwa
\begin{eqnarray*}
5555^{2222}+2222^{5555} & = & 2\,(\text{mod }7)+5\,(\text{mod }7)\\
& = & 7\,(\text{mod }7)\\
& = & 0\,(\text{mod }7)
\end{eqnarray*}
Yaitu terbukti habis dibagi $7$

3.  Untuk setiap bilangan bulat $a$ buktikan berlaku $a^{21}\equiv a\,(\text{mod }15)$

Berdasarkan teorema Fermat yaitu $a^{p}\equiv a\,(\text{mod } p)$. Karena $15=3\times5$ maka diperoleh $a^{5}\equiv a\,(\text{mod }5).$ Karena\begin{eqnarray*}
a^{21} & = & \left(a^{5}\right)^{4}\cdot a\\
& \equiv & a^{5}\,(\text{mod }5)\\
& \equiv & a\,(\text{mod }5)
\end{eqnarray*}Selain itu $a^{3}\equiv a\,(\text{mod }3).$ Karena
\begin{eqnarray*}
a^{21} & = & \left(a^{3}\right)^{7}\\
& = & \left(a^{3}\right)^{2}\cdot a\\
& \equiv & a\,(\text{mod }3)
\end{eqnarray*}Sehingga diperoleh $5|a^{21}-a$ dan $3|a^{21}-a$. Karena 5 dan 3 prima, maka $5\cdot3=15|a^{21}-a$ yaitu $a^{21}\equiv a\,(\text{mod }15)$

Sekian yah...