Ketaksamaan Segitiga

Dalam Ketaksamaan Segitiga Jika $a,b,\in \mathbb{R}$, maka $$|a+b|⩽|a|+|b|$$.

Bukti :

Dari Teorema sebelumnya di katakan bahwa $|a|⩽c$ maka $-c⩽a⩽c$. Sedangkan untuk $|b|⩽c$ maka
diperoleh $-c⩽b⩽c$. Sehingga kita mendapatkan $-|a|⩽a⩽|a|$ dan $-|b|⩽b⩽|b|$. Dengan menjumlahkan kedua ketaksamaan diperoleh $-(|a|+|b|)⩽a+b⩽|a|+|b|$. Dengan menggunakan teorema $|a|⩽c=-c⩽a⩽c$ kita mendapatkan $|a+b|⩽|a|+|b|$.
QED.

Akibat dari Ketaksamaan segitiga diatas kita mendapatkan :

$a,b,\in \mathbb{R}$ maka ,

1. $|a|-|b|⩽|a-b|$

2. $|a-b|⩽|a|+|b|$

Bukti 1. $|a|-|b|⩽|a-b|$

Kita tulis $a=a-b+b$. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh  $|a|=|(a-b)+b|⩽|a-b|+|b|$. Kemudian kita kurangi dengan $|b|$ mendapatkan $|a|-|b|⩽|a-b|$.

Dengan cara yang sama untuk $b=b-a+a$. Dengan ketaksamaan segitiga kita peroleh $b=-|a-b|⩽|a|=|b|$.  Kita Gabungkan menjadi $-|a-b|⩽|a|-|b|⩽|a=b|$.

Berdasarkan teorema $|a|⩽c$ kita dapatkan $-c⩽a⩽c$. Sehingga kita dapatkan $|a|-|b|⩽|a-b|$.

 Bukti 2. $|a-b|⩽|a|+|b|$

Gantilah $b$ pada Ketaksamaan Segitiga dengan –b, sehingga diperoleh $|a-b|⩽|a|+|-b|$. Karena $|-b|=b$ maka diperoleh bahwa $|a-b|⩽|a|+|b|$.  Ketaksamaan segitiga di atas dapat diperluas sehingga berlaku untuk sebarang bilangan real yang banyaknya berhingga.

Untuk pertanyaan No. 3 yaitu
$|a+b+c|⩽|a|+|b|+|c|$.

Jawaban :

Ada akibat dari Teorema diatas yaitu jika $a_1,a_2,a_3,.........a_n$ adalah sembarang bilangan real, maka :

$|a_1+a_2+a_3+.....+a_n|⩽|a_1|+|a_2|+|a_3|+........+|a_n|$. Silahkan anda buktikan sendiri... Gampang kok.... cma ikut akibat diatas...... OK...

Sumber : Robert Bartle dan Donal S. Introduction To Real Analysis $3^{ed}$. John Wiley & Sons