Integral

Perhatikan Soal Integral berikut ini. !

Tentukan Nilai dari ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (x)}{\sin (x)-\cos (x)}dx}$

#Langkah-Langkah Penyelesaian.

Sebelum kita mengerjakan soal tersebut, terlebih dahulu kita harus tahu tentang teori yang berkaitan dengan integral seperti berikut ini.

$${\displaystyle {\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx}$$

Dari teori tersebut maka kita akan dapat menjawab  pertanyaan diatas.

Kita misalkan
$$\begin{array}{r}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (x)}{\sin (x)-\cos (x)}dx=L\end{array}$$ Kemudian
$$\begin{array}{r}L={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-x)}{\sin (\frac{\pi }{2}-x)-\cos (\frac{\pi }{2}-x)}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos (x)}{\cos (x)-\sin (x)}dx\end{array}$$ Kemudian kita jumlahkan kedua persamaan diatas sehingga kita dapatkan

$$\begin{array}{rcl}L+L& =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (x)}{\sin (x)-\cos (x)}dx+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos (x)}{\cos (x)-\sin (x)}dx\\ 2L& =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(\frac{\sin (x)-\cos (x)}{\sin (x)-\cos (x)}\right)dx\\ 2L& =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx\\ 2L& =& x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ 2L& =& \frac{\pi }{2}\\ L& =& \frac{\pi }{4}\end{array}$$ Jadi,  ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (x)}{\sin (x)-\cos (x)}dx=\frac{\pi }{4}}$

Tidak Percaya ??? Silahkan Di Cek pake Maple... hehehehe :P