Integral Tak Wajar (Lanjutan)

Melanjutkan postingan sebelumnya, tentang integral tak wajar.

Integral Tak Wajar Jenis Kedua

Pada integral jenis ini selang pengintegralan diperluas menjadi $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.
Perhatikan defenisi berikut

Jika ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)dx}$ dan ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$ keduanya konvergen, maka ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$ dikatakan konvergen dan memiliki nilai

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$$
Jika sebaliknya maka ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$ divergen.

Contoh :

Hitunglah ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2+1}dx}$ dan tunjukkan bahwa integral tersebut konvergen

Jawab:

Integral diatas dapat kita tulis menjadi
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2+1}dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\frac{1}{x^2+1}dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2+1}dx$$
Karena Fungsi ${\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$ adalah fungsi genap maka kita dapatkan
\begin{eqnarray*}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1}dx & = & 2\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1}dx\
& = & 2\left(\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\frac{1}{x^{2}+1}dx\right)\

& = & 2\lim_{b\to\infty}\tan^{-1}\bigg|_{0}^{b}\
& = & 2\cdot\lim_{b\to\infty}\left(\tan^{-1}(b)-\tan^{-1}(0)\right)\
& = & 2\cdot\frac{\pi}{2}\
& = & \pi
\end{eqnarray*}