Paradoks Corong Gabriel

Kali ini saya akan mencoba memposting tentang paradoks corong Gabriel. Sebenarnya tulisan ini ada di buku kalkulus cuma saya ingin menulis ulang dengan versi bahasaku sendiri. hehehehe.

Dalam paradoks ini ada fenomena aneh dalam matematika yang nantinya akan kita buktikan mengapa fenomena ini jadi aneh. nah kita langsung saja.

Andaikan kurva $f(x)=\frac{1}{x}$ pada selang $[1,\mathrm{\infty }]$ diputar mengelilingi sumbu $x$, Maka terbentuklah suatu permukaan yang disebut corong Gabriel. Perhatikan gambar dibawah:

 

Bentuknya seperti corong kan. Nah sekarang kita akan menunjukkan bahwa

1.  volume $V$ corong adalah terhingga

2.  luas permukaan corong $A$ tak hingga

Jadi, apabila corong itu kita isi dengan cat, maka banyaknya cat ini adalah terhingga. Namun tidak cukup untuk mengecat seluruh corong itu. Untuk menjelaskan paradoks ini, terlebih dahulu kita buktikan sifat-sifat pada (1) dan (2). Sehingga kita peroleh

1.   Mencari volume corong $(V)$
$$\begin{array}{rcl}V& =& {\int }_1^{\mathrm{\infty }}\pi {\left(\frac{1}{x}\right)}^{2}dx\\ & =& \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}\pi {\int }_1^b{x}^{-2}dx\\ & =& \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{[-\frac{\pi }{x}]}_1^b\\ & =& \pi \end{array}$$

2.   mencari luasnya dengan cara
$$\begin{array}{rcl}A& =& {\int }_1^{\mathrm{\infty }}2\pi yds\\ & =& {\int }_1^{\mathrm{\infty }}2\pi \sqrt{1+{(f^{\prime }(x))}^2}dx\\ & =& 2\pi {\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}\sqrt{1+{\left(\frac{-1}{x^2}\right)}^2}dx\\ & =& \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}2\pi {\int }_1^b\frac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}dx\end{array}$$Karena, $$\frac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}>\frac{\sqrt{x^4}}{x^3}=\frac{1}{x}$$

maka
$${\int }_1^b\frac{\sqrt{x^4+1}}{x^3}dx>{\int }_1^b\frac{1}{x}dx=\ln b$$
dan karena $\ln b\to \mathrm{\infty }$ apabila $b\to \mathrm{\infty },$ maka $A$ tak hingga.
Aneh bukan, ? tapi nyata. Sebuah benda yang volumenya terhingga tetapi luasnya tak hingga.

Sumber :
Edwin J. Purcell. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi $5^{th}$ Jilid 1 alih bahasa I Nyoman Susila, Bana K. & Rawuh halaman 487-488