Pembahasan SNMPTN Bidang Matematika Dasar Tahun 2012

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas SNMPTN Bidang matematika dasar tahun 2012. SNMPTN terkadang juga menjadi momok bagi para siswa yang akan melanjutkan ke jenjang perkuliahan. Makanya sebelum kita menghadapi SNMPTN alangkah baiknya kita persiapkan diri kita matang-matang agar nanti tidak kesulitan dalam menghadapi SNMPTN tahun depan.

Berikut aku berikan pembahasan sebatas pemahaman saya pribadi. Semoga bisa membantu.

1. Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $a^b=2^{20}-2^{19}$, maka nilai $a+b$ adalah $\dots$
a. 3
b. 7
c. 19
d. 21
e. 23
Jawaban : (d)
Penyelesaian :
$$\begin{array}{rcl}{a}^b& =& 2^{20}-2^{19}\\ & =& (2\cdot 2^{19}-2^{19})\\ & =& 2^{19}(2-1)\\ & =& 2^{19}\end{array}$$Terlihat bahwa $a=2$ dan $b=19$. maka $a+b=2+19=21$

2. Jika $-999,-997,-995,\dots$ adalah barisan aritmetika, maka suku bernilai positif yang muncul pertama kali adalah suku ke $\dots$

a. 501
b. 502
c. 503
d. 504
e. 505
Jawaban : (b)

Penyelesaian:

Kita lihat bahwa barisan $-999,-997,-995,\dots$ memiliki suku pertama $a=-999$ dan beda $b=2$. Sehingga suku ke-$n$ dari barisan tersebut dapat dinyatakan dengan $u_n=-999+2(n-1)$. Nilai dari $u_n$ akan bernilai positif apabila $u_n>0$. Sehingga

$$\begin{array}{rcl}-999+2(n-1)& >& 0\\ 2(n-1)& >& 999\\ 2n-2& >& 999\\ 2n& >& 1001\\ n& >& \frac{1001}{2}\\ n& >& 500,5\end{array}$$

Terlihat bahwa nilai $n>500,5$. Oleh karena $n\in \mathbb{N}$, maka $n=501$ atau dengan kata lain, suku yang dimaksud adalah suku ke-501.

3.  Jika $p+1$ dan $p-1$ adalah akar-akar persamaan $p^2-4p+a=0$, maka nilai $a$ adalah $\dots$
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
Jawaban (d)

Penyelesaian :

Akar-akar persamaan $p^2-4p+a=0$ adalah $p+1$ dan $p-1$. Kita substitusikan kedua akar kedalam persamaan tersebut kita peroleh:

$$\begin{array}{rcl}(p+1{)}^2-4(p+1)+a& =& 0\\ (p^2+2p+1)-4p-4+a& =& 0\\ p^2-2p+a& =& 3\end{array}$$$$\begin{array}{rcl}(p-1{)}^2-4(p-1)+a& =& 0\\ (p^2-2p+1)-4p+4+a& =& 0\\ p^2-6p+a& =& -5\end{array}$$

Sekarang kita coba eliminasi kedua persamaan diatas. Sehingga kita dapatkan $4p=8\Rightarrow p=2$. Sehingga kita peroleh akar-akarnya yaitu $3$ dan $1$. Jadi, persamaan diatas menjadi $(x-3)(x-1)=0\Rightarrow x^2-4x+3=0$. Terlihat bahwa $a=3$ 

4.  Jika nilai rata-rata tes matematika $20$ siswa kelas $A$ adalah $65$ dan nilai rata-rata $10$ siswa lainnya di kelas tersebut adalah $80$, maka nilai rata-rata semua siswa kelas $A$ adalah $\dots$

a. 72
b. 71
c. 70
d. 69
e. 68
Jawaban : (c)

Penyelesaian :
Kita misalkan $\overline{x}$ adalah nilai rata-rata semua siswa kelas $A$. Sehingga
$$\begin{array}{rcl}\overline{x}& =& \frac{20\cdot 65+10\cdot 80}{30}\\ & =& \frac{1300+800}{30}\\ & =& \frac{2100}{30}\\ \overline{x}& =& 70\end{array}$$

5. Jika ${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& x\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& -2\end{array}\right)}$dan $detAB=12$, maka nilai $x$ adalah $\dots$

a. $-6$
b. $-3$
c. 0
d. 3
e. 6
Jawaban (b)

Penyelesaian :
$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle A\cdot B}& =& \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& x\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& -2\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}2& 10\\ 1& 5-2x\end{array}\right)\end{array}$$$$\begin{array}{rcl}detAB& =& 12\\ det\left(\begin{array}{cc}2& 10\\ 1& 5-2x\end{array}\right)& =& 12\\ 2(5-2x)-10& =& 12\\ 10-4x-10& =& 12\\ -4x& =& 12\\ x& =& -3\end{array}$$

Sekian dulu yah. 5 soal selanjutnya akan saya posting lain kali.......