Soal-Soal SNMPTN 2012 (Sebagian)

Diberikan persamaan $$\cos (x)=\frac{a-1,5}{2-0,5a}$$ banyak bilangan bulat $a$ sehingga persamaan tersebut mempunyai selesaian adalah $\dots$

Pembahasan : 
Persamaan mempunyai penyelesaian jika $|\cos (x)|\le 1$. Sehingga
$$\begin{array}{r}|\cos (x)|\le 1\\ -1\le \cos (x)\le 1\\ -1\le \frac{a-1,5}{2-0,5a}\le 1\end{array}$$
Untuk ${\displaystyle \frac{a-1,5}{2-0,5a}}\le 1$$$\begin{array}{rcl}\frac{a-1,5}{2-0,5a}& \le & 1\\ a-1,5& \le & 2-0,5a\\ a-1,5-2+0,5a& \le & 0\\ 1,5a-3,5& \le & 0\\ 1,5a& \le & 3,5\\ a& \le & \frac{3,5}{1,5}\end{array}$$
Untuk $-1\le {\displaystyle \frac{a-1,5}{2-0,5a}}$
$$\begin{array}{r}-1\le \frac{a-1,5}{2-0,5a}\\ -2+0,5a& \le & a-1,5\\ -0,5& \le & 0,5a\\ -1& \le & a\end{array}$$
Sehingga kita dapatkan $$-1\le a\le \frac{3,5}{1,5}$$
Karena $a$ bilangan bulat, maka yang memenuhi adalah $(-1,0,1,2)$. Nilai $a$ yang memenuhi ada 4.

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2\tan (x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})}=\dots }$ 

Pembahasan:

$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2\tan (x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})}& =& \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}\cdot \underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\tan (x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})}\\ & =& 1^2\cdot \frac{1}{\tan (0+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})}\\ & =& \frac{1}{\tan \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ & =& \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$$

Di dalam kotak terdapat 1 bola biru, 6 bola merah dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah $\dots$

Pembahasan:

Kemungkinan yang akan kita cari adalah terambilnya 4 bola merah, 2 bola putih dan 1 bola biru
$$\begin{array}{rcl}P(4M\cap 2P\cap 1B)& =& \frac{{}_6{C}_4{\times }_2{C}_2{\times }_1{C}_1}{{}_9{C}_7}\\ & =& \frac{\frac{6!}{2!4!}\times \frac{2!}{0!2!}\times \frac{1!}{0!1!}}{\frac{9!}{2!7!}}\\ & =& \frac{\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{2!4!}\times 1\times 1}{\frac{9\cdot 8\cdot 7!}{2!7!}}\\ & =& \frac{15}{36}\\ & =& \frac{5}{12}\end{array}$$

Lingkaran ${(x-4)}^2+{(y-2)}^2=64$ menyinggung garis $x=-4$ di titik$\cdots$

Pembahasan :
$$\begin{array}{rcl}{(x-4)}^2+{(y-2)}^2& =& 64\\ {((-4)-4)}^2+{(y-2)}^2& =& 64\\ {(-8)}^2+{(y-2)}^2& =& 64\\ 64+y^2-4y+4& =& 64\\ y^2-4y+4& =& 0\\ {(y-2)}^2& =& 0\\ y& =& 2\end{array}$$Sehingga titik yang dimaksud adalah $(-4,2)$

Jika suku banyak $2x^3-x^2+6x-1$ dibagi $2x-1$ maka sisanya adalah ....

Pembahasan :
Dengan memanfaatkan teorema sisa kita dapatkan
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 2x^3-x^2+6x-1\\ f\left(\frac{1}{2}\right)& =& 2{\left(\frac{1}{2}\right)}^3-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+6\left(\frac{1}{2}\right)-1\\ & =& 2\left(\frac{1}{8}\right)-\left(\frac{1}{4}\right)+3-1\\ & =& \frac{1}{4}-\frac{1}{4}+2\\ & =& 2\end{array}$$