Pembahasan SNMPTN Matematika IPA 2012 No 1-5

1.  Lingkaran ${(x-6)}^2+{(y+1)}^2=25$ menyinggung garis $y=4$ di titik$\cdots$
a.   $(-1,4)$
b.   $(1,4)$
c.   $(6,4)$
d.   $(-6,4)$
e.   $(5,4)$
Jawaban : (c)
Penyelesaian :
$$\begin{array}{rcl}{(x-6)}^2+{(y+1)}^2& =& 25\\ {(x-6)}^2+{(4+1)}^2& =& 25\\ {(x-6)}^2+{\left(5\right)}^2& =& 25\\ {(x-6)}^2+\left(25\right)& =& 25\\ {(x-6)}^2& =& 0\\ x& =& 6\end{array}$$ Sehingga titik yang dimaksud adalah $(6,4)$

2.  Jika $2x^3-5x^2-kx+18$ dibagi $x-1$ mempunyai sisa $10$, maka nilai $k$ adalah $\dots$
a.  $-15$
b.  $-5$
c.  $0$
d.  $2$
e.  $5$
Jawaban : (e)
Penyelesaian:
Dengan menerapkan Teorema Sisa kita dapatkan
$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& 2x^3-5x^2-kx+18\\ f(1)& =& 2(1{)}^3-5(1{)}^2-k(1)+18\\ 10& =& 2-5-k+18\\ 10& =& 15-k\\ k& =& 5\end{array}$$
3.  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2$, $y=1$ dan $x=2$ adalah $\dots$
a.  ${\displaystyle {\int }_{-1}^2(1-x^2)dx}$
b.  ${\displaystyle {\int }_{-1}^2(x^2-1)dx}$
c.  ${\displaystyle {\int }_1^2(x^2-1)dx}$
d.  ${\displaystyle {\int }_{-1}^1(1-x^2)dx}$
e.  ${\displaystyle {\int }_0^2(x^2-1)dx}$
Jawaban : (c)
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut ini

Perhatikan bahwa luas daerah yang dimaksud adalah daerah yang diarsir diatas, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa luas daerah tersebut adalah ${\int }_1^2(x^2-1)dx$

4.  ${\displaystyle \frac{{(\cos (x)+\sin (x))}^2}{{(\cos (x)-\sin (x))}^2}}=\dots$

a.  ${\displaystyle \frac{1}{1-\cos (2x)}}$
b.  ${\displaystyle \frac{1}{1-\sin (2x)}}$
c.  ${\displaystyle \frac{1+\cos (2x)}{1-\cos (2x)}}$
d.  ${\displaystyle \frac{1+2\sin (x)}{1-2\sin (x)}}$
e.  ${\displaystyle \frac{1+\sin (2x)}{1-\sin (2x)}}$
jawaban : (e).
Penyelesaian:
$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{{(\cos (x)+\sin (x))}^2}{{(\cos (x)-\sin (x))}^2}}& =& {\displaystyle \frac{{\cos }^2(x)+2\sin (x)\cos (x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)-2\sin (x)\cos (x)+{\sin }^2(x)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)+2\sin (x)\cos (x)}{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)-2\sin (x)\cos (x)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1+2\sin (x)\cos (x)}{1-2\sin (x)\cos (x)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1+\sin (2x)}{1-\sin (2x)}}\end{array}$$

5.  Lingkaran $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=25$ memotong sumbu$-x$ di titik $A$ dan $B$. Jika $P$ adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka $\cos \mathrm{\angle }APB=\dots$

a.  ${\displaystyle \frac{7}{25}}$
b.  ${\displaystyle \frac{8}{25}}$
c.  ${\displaystyle \frac{12}{25}}$
d.  ${\displaystyle \frac{16}{25}}$

e.  ${\displaystyle \frac{18}{25}}$
Jawaban : (a)
Penyelesaian:
Perhatikan Gambar Berikut !

Terlebih dahulu kita mencari panjang $AP=BP$.
$$\begin{array}{rcl}AP& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ & =& \sqrt{9+16}\\ & =& \sqrt{25}\\ & =& 5\end{array}$$

Berangkat dari aturan cosinus yaitu
$(AB{)}^2=(AP{)}^2+(BP{)}^2-2(AP)\cdot (BP)\cdot \cos \mathrm{\angle }APB$ maka

$$\begin{array}{rcl}(AB{)}^2& =& (AP{)}^2+(BP{)}^2-2(AP)\cdot (BP)\cdot \cos \mathrm{\angle }APB\\ \cos \mathrm{\angle }APB& =& \frac{(AP{)}^2+(BP{)}^2-(AB{)}^2}{2(AP)\cdot (BP)}\\ & =& \frac{5^2+5^2-6^2}{2\cdot 5\cdot 5}\\ & =& \frac{25+25-36}{50}\\ & =& \frac{50-36}{50}\\ & =& \frac{14}{50}\\ & =& \frac{7}{25}\end{array}$$

Sekian dulu yah. Untuk nomor selanjutnya akan kita bahas pada postingan selanjutnya....Alhamdulillah akhirnya sudah selesai saya buat dalam bentuk PDF.