Penggunaan Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium), dan Aturan Simpson Sebagai Hampiran Dalam Integral Tentu

Kalau kemarin saya menulis artikel tentang integral tak wajar, sekarang saya akan menulis artikel tentang integral numerik yang meliputi aturan trapezoidal dan aturan simpson/ Parabolik.

Persoalan yang melibatkan integral dalam kalkulus ada kalanya tidak hanya persoalan yang mudah-mudah saja. Untuk fungsi-fungsi yang rumit adakala nya kita akan kesulitan dalam mengintegralkannya. Sebagai contoh

$${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx,{\int }_0^2\frac{\sin (x)}{x}dx,{\int }_0^1\sqrt{1-\cos (x)}dx$$

sangat sulit kita integralkan. Bahkan dengan menerapkan teorema Fundamental Kalkulus dasar Kedua kita mungkin akan kerepotan dengan fungsi-fungsi diatas. Padahal integral pertama sangat penting dalam bidang statistika dan integral kedua sangat penting dalam bidang optik. Akan tetapi bukan berarti integral tersebut tidak dapat kita selesaikan. Penyelesaian  integral diatas adalah dengan menggunakan solusi hampiran berupa pengintegralan secara numerik.

Jika yang kita bahas adalah pengintegralan secara numerik, maka hasilnya akan berupa angka. Solusi dalam pengintegralan numerik akan berupa hampiran. Namanya hampiran berarti akan ada error (galat). Namun semua kesalahan (galat) dapat kita kontrol untuk mendapatkan hasil yang mendekati nilai eksak.

Aturan Trapezoidal 

$$\begin{array}{rcl}{\int }_a^{b}f(x)dx& \approx & \frac{h}{2}[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots +2f(x_{n-1})+f(x_n)]\\ & \approx & \frac{h}{2}[f(x_0)+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)]\end{array}$$

Aturan Simpson

$$\begin{gathered} {\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+\cdots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1}) \\ +f(x_n)] \end{gathered}$$

Dalam makalah ini juga dibahas tentang aturan Trapezoidal yang di modifikasi. Dari pada berlama-lama silahkan download makalahnya disini