Teorema-Teorema Limit

Limit konstanta $k$ untuk $x$ mendekati $a$ ada dan nilainya sama dengan $k$, ditulis ${\displaystyle \underset{x\to k}{lim}k=k}$. Secara grafik, hal tersebut dapat kita lihat pada gambar berikut:

Pandang fungsi $f(x)=k$ maka limit ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}k=k}$. Limit $x$ untuk $x$ mendekati $a$ pun dan nilainya sama dengan $a$ ditulis ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}x=a}$. Untuk mengetahui adanya limit secara mudah, kita dapat menggunakan teorema berikut.

1. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}k=k}$


2. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a),\mathrm{\forall }a\in \mathbb{R}}$


3. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}kf(x)=k.\underset{x\to a}{lim}f(x)}$ untuk $k$ = Konstanta


4. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\to a}{lim}f(x)\pm \underset{x\to a}{lim}g(x)}$


5. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}[f(x).g(x)]=\underset{x\to a}{lim}f(x).\underset{x\to a}{lim}g(x)}$


6. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{lim}f(x)}{\underset{x\to a}{lim}g(x)}}$ untuk ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)\ne 0}$


7. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}{(f(x))}^n={(\underset{x\to a}{lim}f(x))}^n}$


8. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\underset{x\to a}{lim}f(x)}}$, dengan ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)>0}$

Sekarang kita akan menggunakan teorema-teorema diatas untuk menjawab sebuah permasalahan yang biasa muncul. Misalnya sebagai berikut :

1.   Jika Diketahui $f(x)=x^2-2$ dan $g(x)=3x+2$. Hitunglah..!!
a.   ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}[f(x)-g(x)]}$

Jawaban :

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 2}{lim}[f(x)-g(x)]& =\underset{x\to 2}{lim}f(x)-\underset{x\to 2}{lim}g(x)\\ & =\underset{x\to 2}{lim}(x^2-2)-\underset{x\to 2}{lim}(3x+2)\\ & =(2^2-2)-(3(2)+2)\\ & =-6\end{array}$$

b.  ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}[f(x).g(x)]}$

Jawaban :
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 1}{lim}[f(x).g(x)]& =\underset{x\to 1}{lim}f(x).\underset{x\to 1}{lim}g(x)\\ & =\underset{x\to 1}{lim}(x^2-2).\underset{x\to 2}{lim}(3x+2)\\ & =(1^2-2).(3(1)+2)\\ & =-5\end{array}$$

2.  Dengan menggunakan Teorema limit, tentukan nilai limit dari ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-7}{2x+7}}$

Jawaban:

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-7}{2x+7}& =\frac{\underset{x\to 2}{lim}(x^2-7)}{\underset{x\to 2}{lim}(2x+7)}\\ & =\frac{\underset{x\to 2}{lim}{x}^2-\underset{x\to 2}{lim}7}{\underset{x\to 2}{lim}2x+\underset{x\to 2}{lim}7}\\ & =\frac{7^2-7}{7^2+7}\\ & =\frac{47-7}{49+7}\\ & =\frac{42}{56}\\ & =\frac{3}{4}\end{array}$$

3.  Jika diketahui ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}\frac{a{x}^2-9a}{\sqrt{x^2+16}-5}=10}$, tentukan nilai $a$ ?

Jawaban:
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 3}{lim}\frac{a{x}^2-9a}{\sqrt{x^2+16}-5}& =10\\ \underset{x\to 3}{lim}\frac{a{x}^2-9a}{\sqrt{x^2+16}-5}.\frac{\sqrt{x^2+16}+5}{\sqrt{x^2+16}+5}& =10\\ \underset{x\to 3}{lim}\frac{(a{x}^2-9a)\sqrt{x^2+16}+5}{(x^2+16)-25}& =10\\ \underset{x\to 3}{lim}\frac{a(x^2-9)\sqrt{x^2+16}+5}{(x^2-9)}& =10\\ \underset{x\to 3}{lim}(a\sqrt{x^2+16}+5)& =10\\ (a\sqrt{3^2+16}+5)& =10\\ (a\sqrt{9+16}+5)& =10\\ (a\sqrt{25}+5)& =10\\ 5a+5& =10\\ 5a& =10-5\\ 5a& =5\\ a& =\frac{5}{5}\\ a& =1\end{array}$$
Jadi, nilai $a=1$