Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Melanjutkan postingan sebelumnya. Pertanyaan yang sangat mendasar adalah bagaimana jika diketahui sebuah fungsi $\sin (x)$ dapatkah kita merepresentasikan fungsi tersebut sebagai deret dalam $x$. Pertanyaan tersebut akhirnya terjawab berkat matematikawan Inggris bernama Brook Taylor (1685-1731) dengan teorema yang berbunyi

$$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

Deret diatas dikenal baik dengan nama deret Taylor. Nah selanjutnya jika $a=0$ maka kita akan mendapatkan deret yang sangat sederhana sebagai berikut

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)(x)+\frac{f^{″}(0)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x{)}^n$$
Deret diatas dikenal dengan nama deret Maclaurin yang diambil dari nama matematikawan Skotlandia, Colin Maclaurin (1698-1746).

Deret Taylor dan Deret Maclaurin sangat penting dalam approksimasi suatu fungsi. Namanya approksimasi (pendekatan) pastilah ada galat yang diberikan. Akan tetapi kita dapat memperkecil galat dengan memperbesar orde pada deret tersebut.

Penggunaan Deret Maclaurin dalam Approksimasi Suatu Fungsi

Deret Maclaurin dapat digunakan untuk mengapproksimasi fungsi polinom, fungsi trigonometri, fungsi eksponensial, maupun fungsi transenden. Nah sekarang akan saya berikan sedikit gambaran bagaimana deret Maclaurin dapat mengaproksimasi suatu fungsi.

1. Tentukan deret Maclaurin dari $\sin (x)$ dan hampirilah nilai $\sin (0,2)$
$$\begin{array}{rcl}f(x)=\sin (x)& \Rightarrow & f(0)=0\\ f^{\prime }(x)=\cos (x)& \Rightarrow & f^{\prime }(0)=1\\ f^{″}(x)=-\sin (x)& \Rightarrow & f^{″}(0)=0\\ f^{‴}(x)=-\cos (x)& \Rightarrow & f^{‴}(0)=-1\\ f^{(4)}(x)=\sin (x)& \Rightarrow & f^{(4)}(0)=0\end{array}$$Jadi kita dapatkan deret Maclaurin dari fungsi $\sin (x)$ yaitu
$$\sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$
Sehingga
$$\begin{array}{rcl}\sin (0,2)& =& (0,2)-\frac{(0,2{)}^3}{3!}+\frac{(0,2{)}^5}{5!}-\frac{(0,2{)}^7}{7!}+\cdots \\ & =& 0,198669331\end{array}$$Jika kita bandingkan dengan nilai eksaknya yaitu $\sin (0,2)=0,1986693307950612$.
Perhatikan bahwa deret diatas benar untuk 8 angka desimal untuk fungsi $\sin (0,2)$.

2. Sekarang carilah deret $\cos (x)$

Dalam kalkulus kita tahu bahwa fungsi $\cos (x)$ adalah turunan pertama dari fungsi $\sin (x)$. Jadi mudah saja kita turunkan $\sin (x)$
$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}(\sin (x))& =& \frac{d}{dx}(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots )\\ \cos (x)& =& 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \end{array}$$

Berbeda dengan fungsi $\sin (x)$ jika kita menghampiri nilai untuk $x=0$ maka $\sin (0)=0$ sementara $\cos (0)=1.$

Kredit Gambar : Wikipedia.org