Fungsi Beta

Melanjutkan Postingan yang kemarin tentang Fungsi Gamma $\mathrm{\Gamma }(n)$. Kali ini saya akan menjelaskan tentang fungsi Beta atau biasa kita simbolkan dengan $B(m,n)$. dalam hal ini beta saya menggunakan simbol $B$. tetapi ada juga yang biasa menggunakan simbol $\beta$. Tetapi dalam hal ini saya akan menggunakan simbol $B$ saja.

Defenisi :

Fungsi beta, yang dinotasikan dengan $B(m,n)$ didefenisikan sebagai :

$${\displaystyle B(m,n)={\int }_0^1{x}^{m-1}(1-x{)}^{n-1}dx}$$

Sekarang kita bertanya bagaimana cara menyelesaikannya ???? berdasarkan defenisi kita mendapatkan bahwa :

$${\displaystyle B(m,n)=\frac{\mathrm{\Gamma }(m)\mathrm{\Gamma }(n)}{\mathrm{\Gamma }(m+n)}}$$

Untuk pembuktiannya silahkan teman-teman baca di buku Numerical Analysis Using MATLAB and Spreadsheets, Second Edition Karangan Steven T. Karris.

Fungsi beta digunakan untuk mengevaluasi integral tentu seperti yang akan kita lihat dibawah ini.

Contoh :

Carilah nilai integral dari ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^4(1-x{)}^{3}dx}$

Jawaban :

Berdasarkan defenisi

${\displaystyle B(m,n)={\int }_0^1{x}^{m-1}(1-x{)}^{n-1}dx}$

dan demikian untuk contoh ini kita mendapatkan

${\displaystyle {\int }_0^1{x}^4(1-x{)}^{3}dx=B(5,4)}$

sekarang kita mendapatkan $B(5,4)$.

jadi, ${\displaystyle B(5,4)=\frac{\mathrm{\Gamma }(5)\mathrm{\Gamma }(4)}{\mathrm{\Gamma }(5+4)}}$

Dari penjelasan saya kemaren tentang fungsi Gamma kita bisa mendapatkan :

${\displaystyle B(5,4)=\frac{4!.3!}{8!}=\frac{204}{40320}=\frac{144}{40320}=\frac{1}{280}}$.

jadi hasil dari ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^4(1-x{)}^{3}dx=\frac{1}{280}}$.

Sangat Gampang kan ????