Fungsi gamma

Fungsi Gamma atau biasa dituliskan sebagai $\mathrm{\Gamma }(n)$ dan kaitannya dengan faktorial n! akan dibicarakan dalam tulisan ini. Detil mengenai relasi tersebut dapat dilihat dalam literatur . Faktorial untuk bilangan bulat dan setengah bulat akan digunakan dalam distribusi Maxwell-Boltzmann untuk energi, momentum, dan laju dalam suatu asembli klasik dan juga dalam penurunan fungsi distribusi partikel yang memenuhi berbagai jenis statistik.

Faktorial

Faktorial dari suatu bilangan bulat, misalnya saja n, memiliki arti $n!=n(n-1)(n-2)(n-3)........3.2.1$ dimana $0!=1$. Demikinlah nilai faktorial terdefinisi pada nilai bilangan bulat positif.

Fungsi gamma untuk $n$ bulat positif

Fungsi gamma didefinisikan sebagai :
$$\mathrm{\Gamma }(n+1)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}{x}^{n}dx$$

Dengan melakukan integrasi parsial terhadap Persamaan diatas dapat diperoleh; $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)$ yang apabila dituliskan lebih jauh;

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n(n-1)(n-2)(n-3)........3.2.1\mathrm{\Gamma }(1)=n!\mathrm{\Gamma }(1)$

Dengan menggunakan Persamaan diatas dapat dihitung bahwa :

$$\mathrm{\Gamma }(1)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}dx=1$$

sehingga dapat diperoleh hubungan antara fungsi gamma dan faktorial, yaitu :

$$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$$