Integral Bentuk ∫a+xa−xdx

Pada postingan yang dulu, saya pernah membahas tentang integral tak wajar bentuk ${\displaystyle {\int }_{-1}^1\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx}$ namun pada kesempatan kali ini saya akan mencoba melakukan posting tentang pengintegralan tapi tidak memakai batas pengintegralan.

Saya coba dengan bentuk umum  $\int {\displaystyle \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx}$. Ternyata dengan memanfaatkan substitusi trigonometri kita dapat menjawab soal tersebut dengan mudah. Tentunya dengan sedikit manipulasi dan trik aljabar.
$$\begin{array}{rcl}\int \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx& =& \int \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\times \frac{\sqrt{a-x}}{\sqrt{a-x}}dx\\ & =& \int \frac{\left(\sqrt{a+x}\right)\left(\sqrt{a-x}\right)}{a-x}dx\\ & =& \int \frac{\sqrt{(a+x)(a-x)}}{a-x}dx\\ & =& \int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a-x}dx\end{array}$$ Kita lakukan pemisalan

$x=a\sin \theta$
$dx=a\cos \theta d\theta$
$\sin \theta ={\displaystyle \frac{x}{a}}$
$\theta =\arcsin {\displaystyle \frac{x}{a}}$

Substitusikan kedalam integral diatas.

\begin{eqnarray*}
\int\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a-x}dx & = & \int\frac{\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta}}{a-a\sin\theta}\cdot a\cos\theta d\theta\
& = & \int\frac{\sqrt{a^{2}\left(1-\sin^{2}\theta\right)}}{a\left(1-\sin\theta\right)}\cdot a\cos\theta d\theta\
& = & \int\frac{\sqrt{a^{2}\left(\cos^{2}\theta\right)}}{a\left(1-\sin\theta\right)}\cdot a\cos\theta d\theta\
& = & \int\frac{\not{a}\cos\theta}{\not{a}\left(1-\sin\theta\right)}\cdot a\cos\theta d\theta\
& = & \int\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\cdot a\cos\theta d\theta\
& = & \int\frac{a\cos^{2}\theta}{1-\sin\theta}d\theta\
& = & \int\frac{a\left(1-\sin^{2}\theta\right)}{1-\sin\theta}d\theta\
& = & \int\frac{a\left(\not{1-\sin\theta}\right)\left(1+\sin\theta\right)}{\not{1-\sin\theta}}d\theta\
& = & \int a\left(1+\sin\theta\right)d\theta\
& = & \int\left(a+a\sin\theta\right)d\theta\
& = & a\theta-a\cos\theta+C\
& = & a\arcsin\dfrac{x}{a}-a\cos\left(\arcsin\dfrac{x}{a}\right)+C\

& = & a\arcsin\dfrac{x}{a}-\not{a}\cdot\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{\not{a}}+C\
& = & a\arcsin\dfrac{x}{a}-\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C
\end{eqnarray*}
Disimpulkan bahwa ${\displaystyle \int \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx=a\arcsin {\displaystyle \frac{x}{a}}-\sqrt{a^2-x^2}+C}$

Catatan :

nilai $\cos (\arcsin \left(\frac{x}{a}\right))$ dapat dicari dengan menggunakan bantuan segitiga siku-siku. Jika masih bingung bisa ditanyakan saja di kolom komentar. Terima kasih