Sifat Aljabar Diferensial

Pada kesempatan kali ini saya akan mencoba memaparkan tentang materi sifat aljabar diferensial yang sering dipakai dalam menyelesaikan masalah tentang turunan. Sifat aljabar ini juga biasa di sebut aturan turunan. Aturan tersebut meliputi perkalian turunan dengan konstanta, penjumlahan, perkalian dan pembagian. Namun pada kesempatan kali ini hanya dibahas 4 aturan yang semuanya dapat ditemukan di buku analisis real karangan Donal Sherbert dan Robert bartle $3^{ed}$. Jika anda ingin mendapatkan bukunya dapat langsung mendownloadnya di blog ini.

Langsung kita melihat teoremanya berikut.

Teorema

Misalkan $\mathbb{I}\subseteq \mathbb{R}$ suatu interval dan $c\in \mathbb{I}$, dan misalkan $f:\mathbb{I}\to \mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{I}\to \mathbb{R}$ adalah fungsi yang terdiferensial di $c$ maka

1. Jika $\alpha \in \mathbb{R}$, fungsi $\alpha f$ terdiferensial di $c$, dimana
   $$\begin{array}{r}(\alpha f{)}^{\prime }(c)=\alpha f^{\prime }(c)\end{array}$$


2. Fungsi $f+g$ terdiferensial di $c$ yaitu:
   $$\begin{array}{r}(f+g{)}^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)+g^{\prime }(c)\end{array}$$


3. (Aturan Perkalian) Fungsi $fg$ terdiferensial di $c$ dimana:
   $$\begin{array}{r}(fg{)}^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)g(c)+f(c)g^{\prime }(c)\end{array}$$


4. (Aturan Pembagian) Jika $g(c)\ne 0$, maka fungsi ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ terdiferensial di $c$ dimana:
   $$\begin{array}{r}\left(\frac{f}{g}\right)(c)=\frac{f^{\prime }(c)g(c)-f(c)g^{\prime }(c)}{(g(c){)}^2}\end{array}$$

Kita hanya akan membuktikan bagian (3) dan (4) saja. Untuk bukti pada bagian (1) dan (2) diserahkan langsung kepada pembaca sebagai latihan.

Bukti

(3). Misalkan $p:=fg$, maka untuk $x\in \mathbb{I},x\ne c$, kita mendapatkan: $$\begin{array}{rcl}\frac{p(x)-p(c)}{x-c}& =& \frac{f(x)g(x)-f(c)g(c)}{x-c}\\ & =& \frac{f(x)g(x)-f(c)g(x)+f(c)g(x)-f(c)g(c)}{x-c}\\ & =& \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\cdot g(x)+f(x)\cdot \frac{g(x)-g(c)}{x-c}\end{array}$$
Kita perhatikan pada baris kedua, pembilang ditambah dengan suku $-f(c)g(x)+f(c)g(x)$ suatu kuantitas bernilai nol sehingga tidak merubah apa-apa. Tujuannya agar diperoleh bentuk pada defenisi diferensial seperti tampak pada baris berikutnya.

Dengan menggunakan fakta $g$ kontinu di $c$ (mengapa ?), yaitu $\underset{x\to c}{lim}g(x)=g(c)$, dan fakta yang diketahui pada hipotesis teorema maka diperoleh
$$\underset{x\to c}{lim}\frac{p(x)-p(c)}{x-c}=f^{\prime }(c)g(c)+f(c)g^{\prime }(c)$$
yaitu disimpulkan $p=fg$ terdiferensial di $c$.

(4). Misalkan $q:=f/g$. Karena $g$ terdiferensial di $c$ dan kontinu pada satu titik. Selanjutnya karena $g(c)\ne 0$ kita tahu bahwa pada interval $J\subseteq \mathbb{I}$ ada $c\in J$ sedemikian hingga $g(x)\ne 0$ untuk setiap $x\in J$. Untuk $x\in J,x\ne c$, kita dapatkan:
$$\begin{array}{rcl}\frac{q(x)-q(c)}{x-c}& =& \frac{f(x)/g(x)-f(c)/g(c)}{x-c}\\ & =& \frac{f(x)g(c)-f(c)g(x)}{g(x)g(c)(x-c)}\\ & =& \frac{f(x)g(c)-f(c)g(c)+f(c)g(c)-f(c)g(x)}{g(x)g(c)(x-c)}\\ & =& \frac{1}{g(x)g(c)}[\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\cdot g(c)-f(c)\cdot \frac{g(x)-g(c)}{x-c}]\end{array}$$Dengan kekontinuan $g$ di $c$ dan terdiferensialnya $f$ dan $g$ di $c$, kita mendapatkan: $$q^{\prime }(c)=\underset{x\to c}{lim}\frac{q(x)-q(c)}{x-c}=\frac{f^{\prime }(c)g(c)-f(c)g^{\prime }(c)}{(g(c){)}^2}$$ Sehingga, $q=f/g$ terdiferensial di $c$.
Sekian buktinya yah. Lain kali kita sambung lagi.

Sumber : Robert Bartle dan Donal S. Introduction To Real Analysis $3^{ed}$ John Wiley & Sons