Soal ONMIPA PT 2011 Bidang Aljabar Linier Bagian Pertama

Pada kesempatan kali ini saya akan memposting tentang soal aljabar linier yang dilombakan pada ONMIPA PT bidang matematika tahun 2011 yang berlangsung pada tanggal 31 maret 2011. Dalam soal ini terbagi menjadi dua bagian yaitu bagian pertama dan bagian kedua yang dikerjakan dalam waktu 120 menit. Namun pada postingan kali ini hanya saya share bagian pertama. Untuk bagian kedua di postingan selanjutnya.

Menurut saya soal ONMIPA PT bidang aljabar linier ini cukup susah dan saya mengkategorikan soal ini sangat sulit. Sampai saat ini pun saya belum bisa membuatkan pembahasannya mengingat tingkat kesulitan soal yang sangat kompleks. Bagi teman-teman blogger yang ingin membahasnya, bisa di kolom komentar blog ini maupun lewat email saya di fendy.math@gmail.com.

Berikut soal-soalnya yang terdiri dari 10 nomor

1. Diketahui bahwa $V$ adalah subruang dari $P_3$ yang dibangun oleh $\left\{ x^{3}+x^{2},x^{3}+x,x+1,x^{2}+1\right\} $, maka dimensi $V$ adalah ....
2. Misalkan $A=[a_{ij}]$ matriks berukuran $2011 \times 2011$. jika $a_{ij}=i+j$ untuk setiap $i,j,$ maka $rank \left( A \right)$ = ....
3. Bidang $B$ di $\mathbb{R}^3$ melalui titik-titik $\left( 1,1,0 \right)$,$\left( 0,1,0 \right)$ dan $\left( 0,0,-1 \right)$. Vektor satuan yang tegaklurus terhadap bidang $B$ adalah ....
4. Diberikan vektor-vektor $x_1=\left( 1,1,0 \right)$, $x_2=\left( 0,1,1 \right)$ di $\mathbb{R}^3$. Proses ortonormalisasi Gram-Schmidt pada $x_1,x_2$ menghasilkan vektor-vektor $v_1,v_2$. Maka $v_2$ = ....
5. Misalkan $A$ dan $B$ matriks-matriks real berukuran berturut-turut $4\times 2$ dan $2\times 4$. jika $$AB=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 0\\0 & 1 & 0 & -1\\-1 & 0 & 1 & 0\\0 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)$$ maka $BA$ = ....
6. Misalkan $T:P_2 \longrightarrow \mathbb{R}$ adalah transformasi linier yang didefinisikan sebagai $$T\left( \left( p\left( x \right) \right) \right)=\int_0^1p\left( x \right)dx, \,\,\, \text{untuk setiap}\,\, p\left( x \right) \in P_2$$ Maka dimensi $Inti\left( T \right)$ adalah ....
7. Misalkan $v=\left(1,-2,4\right),w=\left(-3,6,k\right) \in \mathbb{R}^{3}$. Jika tidak ada $u\in\mathbb{R}^{3}$ sehingga $w$ adalah hasil proyeksi $u$ pada $v$, maka himpunan semua nilai $k$ yang mungkin adalah ....
8. Misalkan $f:\mathbb{\mathbb{R}}^{3}\times\mathbb{\mathbb{R}}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}$ didefinisikan sebagai $f\left(x,y\right)=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}+3x_{3}y_{3},$ untuk setiap $x=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right),y=\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)\in\mathbb{R}^{3}$ maka $f$ bukan hasil kali dalam di $\mathbb{\mathbb{R}}^{3}$ karena tidak memenuhi sifat ....
9. Misalkan matriks $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$. Jika $A$ mempunyai $K$ kolom yang sama, maka dimensi ruang eigen $A$ untuk nilai eigen $\lambda=0$ paling sedikit adalah ....
10. Misalkan $T$ operator linear pada $A \in \mathbb{R}^{2\times 2}$ yang didefinisikan sebagai $$T\left(\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}c & a\\d & b\end{array}\right],\,\,\,\,\text{untuk setiap}\,\,\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]\in\mathbb{R}^{2\times2} $$ Jika $A$ adalah vektor eigen $T$ untuk nilai eigen $-1$, maka $det\left(A\right)$=....

Itulah soal-soal yang keluar dalam ONMIPA PT bidang aljabar linear. Yang tahu jawabannya monggo di share di blog ini agar semua pembaca dapat mengetahui solusinya. Untuk bagian kedua saya share di postingan selanjutnya. Selamat belajar.