Soal-Soal Latihan Menjelang Ujian Nasional

Ujian nasional sudah dekat. Oleh karena itu sebaiknya kita mulai mempersiapkan diri dengan cara belajar yang rutin dan banyak mengerjakan soal-soal latihan. Kali ini saya akan memposting soal-soal yang mungkin tidak asing bagi kita sekalian. Yaitu soal-soal UN terdahulu. Tidak tau tahun berapa yag penting dapat di jadikan sebagai bahan latihan saja.

1. Persamaan kuadrat $x^2-3x-2=0$ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(3x_1+1)$ dan $(3x_2+1)$ adalah......
Jawaban

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ & =& -\frac{-3}{1}\\ & =& 3\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}{x}_1.x_2& =& \frac{c}{a}\\ & =& \frac{-2}{1}\\ & =& -2\end{array}$$
Akar-akar persamaan kuadrat yang baru.
$$\begin{array}{rcl}(3x_1+1)+(3x_2+1)& =& 3x_1+3x_2+2\\ & =& 3(x_1+x_2)+2\\ & =& 3(3)+2\\ & =& 9+2\\ & =& 11\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}(3x_1+1)(3x_2+1)& =& 9x_1{x}_2+3x_1+3x_2+1\\ & =& 9(x_1{x}_2)+3(x_1+x_2)+1\\ & =& 9(-2)+3(3)+1\\ & =& -18+9+1\\ & =& -8\end{array}$$ Dengan menggunakan Rumus Menyusun akar-akar persamaan kuadrat yaitu:${\displaystyle x^2-x(x_1+x_2)+x_1{x}_2=0}$ kita mendapatkan:

$x^2-x(11)+(-8)=0$ atau $x^2-11x-8=0$

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah: $x^2-11x-8=0$

2. Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ di titik $(2,-1)$ adalah......

Jawaban

Titik Pusat dari lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ adalah $P(3,-2)$. Sehingga kita dapat mencari nilai $r^2$. Persamaan bakunya adalah :
$$\begin{array}{rcl}(x-3{)}^2+(y+2{)}^2& =& -11+9+4\\ (x-3{)}^2+(y+2{)}^2& =& 2\end{array}$$
Jadi, kita peroleh bahwa $r^2=2$.Persamaan Garis singgung lingkaran yang melalui titik $(a,b)$ adalah:
$$\begin{array}{rcl}(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)& =& r^2\\ (2-3)(x-3)+(-1+2)(y+2)& =& 2\\ (-1)(x-3)+(1)(y+2)& =& 2\\ -x+3+y+2& =& 2\\ -x+y+3& =& 0\\ x-y-3& =& 0\end{array}$$
Jadi, Persamaan garis singgung lingkaran adalah $x-y-3=0$

3. Fungsi $f$ dan $g$ adalah pemetaan dari $R$ ke $R$ yang dirumuskan oleh $f(x)=3x+5$ dan ${\displaystyle g(x)=\frac{2x}{x+1},x\ne -1}$. Rumus $(gof)(x)$ adalah ....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}(gof)(x)& =& g(f(x))\\ & =& \frac{2(3x+5)}{(3x+5)+1}\\ & =& \frac{6x+10}{3x+6},x\ne -2\end{array}$$jadi, ${\displaystyle (gof)(x)=\frac{6x+10}{3x+6},x\ne -2}$

4. Bentuk sederhana dari ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-6\sqrt{2}}}$ = ....

Jawaban

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-6\sqrt{2}}}$ kita rasionalkan penyebutnya dengan cara mengkalikan dengan ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}}$.$$\begin{array}{rcl}\left(\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}-6\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}\right)& =& \frac{3+6\sqrt{6}+3\sqrt{6}+36}{3-72}\\ & =& \frac{6\sqrt{6}+39+3\sqrt{6}}{69}\\ & =& \frac{9\sqrt{6}+39}{69}\\ & =& \frac{3\sqrt{6}+13}{23}\\ & =& \frac{1}{23}(13+3\sqrt{6})\end{array}$$

5. Bentuk sederhana dari ${\displaystyle \frac{24a^{-7}{b}^{-2}c}{6a^{-2}{b}^{-3}{c}^{-6}}}$ = ....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}\frac{24a^{-7}{b}^{-2}c}{6a^{-2}{b}^{-3}{c}^{-6}}& =& 4a^{5}b{c}^7\\ & =& \frac{4b{c}^7}{a^5}\end{array}$$

6. Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+mx+16=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha =2\beta$ dan $\alpha ,\beta$ positif, maka nilai $m$ = ....

Jawaban

Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+mx+16=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$. Diketahui juga bahwa $\alpha =2\beta$. Maka:$$\begin{array}{rcl}\alpha .\beta & =& \frac{c}{a}\\ 2\beta .\beta & =& \frac{16}{2}\\ 2{\beta }^2& =& 8\\ {\beta }^2& =& 4\\ \beta & =& 2\end{array}$$
Nilai $\beta =2$, maka:
$$\begin{array}{rcl}\alpha +\beta & =& -\frac{b}{a}\\ 2\beta +\beta & =& -\frac{b}{a}\\ 3\beta & =& -\frac{m}{2}\\ \beta & =& -\frac{m}{6}\\ 2& =& -\frac{m}{6}\\ -m& =& 12\\ m& =& -12\end{array}$$

7. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^2{\log }^2(2x-2){-}^2\log (2x-2)=2$ adalah ....

Jawaban

Dari Persamaan ${}^2{\log }^2(2x-2){-}^2\log (2x-2)=2$, Kita ubah bentuknya menjadi ${}^2{\log }^2(2x-2){-}^2\log (2x-2)-2=0$.
Kita misalkan ${}^2\log (2x-2)=P$. Maka kita mendapatkan persamaan:
$$\begin{array}{rcl}{}^2{\log }^2(2x-2){-}^2\log (2x-2)-2& =& 0\\ P^2-P-2& =& 0\\ (P-2)(P+1)& =& 0\\ P=2& dan& P=-1\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}{}^2\log (2x-2)& =& 2\\ 2x-2& =& 2^2\\ 2x& =& 6\\ x& =& 3\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}{}^2\log (2x-2)& =& -1\\ 2x-2& =& 2^{-1}\\ 2x-2& =& \frac{1}{2}\\ 2x& =& \frac{5}{2}\\ x& =& \frac{5}{4}\\ x& =& 1\frac{1}{4}\end{array}$$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=3$ atau ${\displaystyle x=1\frac{1}{4}}$

8. Grafik fungsi kuadrat $f(x)=a{x}^2+2\sqrt{2}x+(a-1),a\ne 0$ memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda. Batas-batas nilai $a$ yang memenuhi adalah ....

Jawaban
Grafik Fungsi Kuadrat $f(x)=a{x}^2+2\sqrt{2}x+(a-1),a\ne 0$ memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda, maka kita mendapatkan bahwa $D>0$. Sehingga
$$\begin{array}{rcl}D& >& 0\\ b^2-4ac& >& 0\\ (2\sqrt{2}{)}^2-4.a.(a-1)& >& 0\\ 8-4a^2-4a& >& 0\\ -a^2-a+8& >& 0\\ -a^2-a+8& =& 0\\ (-a-2)(a-1)& =& 0\\ a=-2& dan& a=1\end{array}$$
Jika kita mengujinya dalam garis bilangan, maka kita dapatkan batas-batas $x$ berada pada $(-2,1)$

9. Diketahui suku banyak $f(x)=a{x}^3+2x^2+bx+5,a\ne 0$ dibagi oleh $(x+1)$ sisanya $4$ dan dibagi oleh $(2x-1)$ sisanya juga $4$. Nilai dari $(a+2b)$ adalah ....

Jawaban
Penyelesaian soal ini dengan menggunakan Teorema sisa $f(x)=a{x}^3+2x^2+bx+5,a\ne 0$ dibagi oleh $(x+1)$ sisanya $4$
$$\begin{array}{rcl}f(-1)& =& -a+2-b+5\\ 4& =& -a-b+7\\ -3& =& -a-b\end{array}$$
$f(x)=a{x}^3+2x^2+bx+5,a\ne 0$ dibagi oleh $(2x-1)$ sisanya $4$
$$\begin{array}{rcl}f\left(\frac{1}{2}\right)& =& {\left(\frac{1}{2}\right)}^{3}a+2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+b\left(\frac{1}{2}\right)+5\\ 4& =& \frac{a}{8}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}b+5\\ 32& =& a+4+4b+40\\ 32& =& a+4b+44\\ -12& =& a+4b\end{array}$$
Dari 2 persamaan diatas kita dapat melakukan eliminasi untuk mendapatkan nilai $a$ dan $b$.
$$\begin{array}{rcl}-3& =& -a-b\\ -12& =& a+4b\end{array}$$
Dengan mengeliminasi kedua persamaan diatas di dapat nilai $a=8$ dan $b=-5$. Sehingga hasil dari $a+2b$ adalah:
$$\begin{array}{rcl}a+2b& =& 8+2(-5)\\ & =& 8-10\\ & =& -2\end{array}$$

10. Faktor-faktor persamaan suku banyak $x^3+p{x}^2-3x+q=0$ adalah $(x-2)$ dan $(x-3)$. Jika $x_1,x_2,x_3$ adalah akar-akar persamaan suku banyak tersebut, maka nilai $x_1+x_2+x_3$ = ....

Jawaban
 
$$\begin{array}{rcl}f(-2)& =& -2^3+p(-2{)}^2-3(-2)+q\\ & =& -8+4p+6+9\\ & =& -2+4p+q\\ 4p+q& =& 2\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^3+p(3{)}^2-3(3)+q\\ & =& 27+9p-9+q\\ & =& 18+9p+q\\ 9p+q& =& -18\end{array}$$
Eliminasi persamaan pertama dan kedua:
$$\begin{array}{rcl}4p+q& =& 2\\ 9p+q& =& -18\end{array}$$
Hasil eliminasi dari persamaan diatas kita mendapatkan nilai $p=-4$ dan $q=18$. Sehingga persamaan diatas menjadi $x^3-4x^2-3x+18=0$. Perlu diketahui bahwa dalam materi suku banyak terdapat terluasan teorema Vieta atau biasa di kenal rumus jumlah dan hasil kali yaitu
a. $x_1+x_2+x_3=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$
b. $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3={\displaystyle \frac{c}{a}}$
c. $x_1{x}_2{x}_3=-{\displaystyle \frac{d}{a}}$
sehingga dalam menjawab soal diatas kita menggunakan teorema yang pertama yaitu untuk fungsi $x^3-4x^2-3x+18=0$ maka $$x_1+x_2+x_3=-{\displaystyle \frac{-4}{1}}=4$$

Sekian dulu pembahasan kita kali ini. Nanti kita sambung lagi. Jangan lupa komentarnya yah..