Masih Membahas Tentang Suku Banyak

Kembali saya akan melanjutkan postingan saya yaitu tentang suku banyak. Pada postingan sebelumnya saya sudah membahas soal sebanyak 16 nomor. Kali ini saya akan mencoba membahas sisanya sekitar 6 nomor saja. Setelah itu akan saya upload dalam bentuk PDF. Para pembaca mungkin akan merasa mudah jika file tersebut saya convert dalam format PDF. Namun pada postingan kali ini saya masih menuliskan dalam bentuk postingan dengan bantuan $LATEX$. Mari kita mulai pembahasannya

17. Diketahui suku banyak $f\left(x\right)$ jika dibagi $(x+1)$ bersisa $8$ dan dibagi $(x-3)$ bersisa $4$. Suku banyak $g\left(x\right)$ jika dibagi $(x+1)$ bersisa $-9$ dan dibagi $(x-3)$ bersisa $15$. Jika $h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$ maka sisa pembagian $h\left(x\right)$ oleh $(x^2-2x-3)$ adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa pembagian adalah $Ax+B$ . Perhatikan bahwa suku banyak $f\left(x\right)$ jika dibagi $(x+1)$ bersisa $8$ dan dibagi $(x-3)$ bersisa $4$
$$\begin{array}{rcl}f(-1)& =& 8\\ f\left(3\right)& =& 4\end{array}$$ Suku banyak $g\left(x\right)$ jika dibagi $(x+1)$ bersisa $-9$ dan dibagi $(x-3)$ bersisa $15$
$$\begin{array}{rcl}g(-1)& =& -9\\ g\left(3\right)& =& 15\end{array}$$ Dari keterangan soal selanjutnya terlihat bahwa $(x^2-2x-3)$ dapat difaktorkan menjadi $(x+1)(x-3)$. Selain itu $h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$ sehingga
dengan mudah kita menuliskan suku banyak tersebut menjadi $$\begin{array}{rcl}h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)& =& H\left(x\right)(x+1)(x-3)+Ax+B\\ h(-1)=f(-1)\cdot g(-1)& =& H(-1)(-1+1)(-1-3)-A+B\\ 8(-9)& =& -A+B\\ -A+B& =& -72(1)\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)& =& H\left(x\right)(x+1)(x-3)+Ax+B\\ h\left(3\right)=f\left(3\right)\cdot g\left(3\right)& =& H\left(3\right)(3+1)(3-3)+3A+B\\ \left(4\right)\cdot \left(15\right)& =& 3A+B\\ 3A+B& =& 60(2)\end{array}$$ Dari persamaan (1) dan persamaan (2) dapat kita eliminasi dan mendapatkan nilai $A=33$ dan $B=-39$ (Untuk kebenarannya silahkan dicek sebagai bahan latihan), Sehingga sisa pembagian $h\left(x\right)$ oleh $(x^2-2x-3)$ adalah $33x-39$

18. Suku banyak berderajat $3$ habis dibagi dengan $x+1$ dan $x-2$. Bersisa $2$ jika dibagi dengan $x+1$ dan bersisa $2$ jika dibagi dengan $x$. Suku banyak itu adalah ....

Jawaban

Misalkan suku banyak tersebut adalah $f\left(x\right)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$. Dari keterangan soal diperoleh
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& H\left(x\right)(x-1)+0\\ f\left(1\right)& =& 0\\ f\left(2\right)& =& 0\\ f\left(x\right)& =& H\left(x\right)(x+1)+2\\ f(-1)& =& 2\\ f\left(x\right)& =& H\left(x\right)\left(x\right)+2\\ f\left(0\right)& =& 2\end{array}$$ Substitusikan nilai-nilai suku banyak diatas kedalam $f\left(x\right)$ mendapatkan
$$\begin{array}{rcl}f\left(1\right)& =& A+B+C+D=0(1)\\ f\left(2\right)& =& 8A+4B+2C+D=0(2)\\ f(-1)& =& -A+B-C+D=2(3)\\ f\left(0\right)& =& D=2(4)\end{array}$$ Dengan memanfaatkan metode eliminasi dan substitusi diperoleh nilai
$A={\displaystyle \frac{2}{3}},B=-1,C=-{\displaystyle \frac{5}{3}},D=2$ (Silahkan dicoba sebagai
bahan latihan). Jadi suku banyak tersebut adalah $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3-x^2-{\displaystyle \frac{5}{3}}x+2$

19. Jika salah satu akar persamaan $2x^3-7x^2-7x+30=0$ adalah $3$
maka jumlah dua akar yang lain adalah ......

Jawaban

Gunakan metode Horner untuk mendapatkan hasil bagi $2x^3-7x^2-7x+30=0$ dengan $3$

(Cara 1). Terlihat bahwa hasil pembagiannya adalah $2x^2-x-10=0$. Jumlah akar-akarnya dapat kita cari dengan menggunakan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat yaitu
$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1+x_2& =& -\frac{(-1)}{2}\\ x_1+x_2& =& \frac{1}{2}\end{array}$$
(Cara 2) Selain cara diatas kita juga dapat menggunakan cara pemfaktoran dari $2x^2-x-10=0$. Faktor dari
$$\begin{array}{rcl}2x^2-x-10& =& 0\\ (2x-5)(x+2)& =& 0\\ x=\frac{5}{2}& \text{atau}& x=-2\end{array}$$ Jumlahkan kedua akar tersebut $x_1+x_2={\displaystyle \frac{5}{2}}-2={\displaystyle \frac{1}{2}}$

20. Jumlah akar-akar dari persamaan $2x^3-3x^2-11x+6=0$ adalah ....

Jawaban

Dengan memanfaatkan perluasan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat (atau lebih dikenal dengan teorema Vieta) kita akan dengan mudah menjawab soal tersebut.
$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2+x_3& =& -\frac{b}{a}\\ & =& -\frac{(-3)}{2}\\ & =& \frac{3}{2}\end{array}$$ Jika anda ingin mencari akar-akar dari persamaan tersebut tidak ada salahnya dan hasilnya pun akan sama. Silahkan dicoba sebagai latihan.

21. Banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan $4x^4-15x^2+5x+6=0$ adalah .......

Jawaban

Faktor bulat dari $6$ adalah $\pm 6,\pm 1,\pm 2,\pm 3$
Untuk $x=1$ maka

$$\begin{array}{rcl}f\left(1\right)& =& 4-15+5+6\\ & =& 0(x-1)\text{ adalah faktor dari }f\left(x\right)\end{array}$$

Mendapatkan hasil $4x^3+4x^2-11x-6=0$. Sekarang kita mencoba membagi $4x^3+4x^2-11x-6=0$
dengan $x=-2$ mendapatkan

Mendapatkan hasil $4x^2-4x-3=0$ dengan sisa $0$. Sehingga disimpulkan $x+2$ juga merupakan faktor bulat dari $f\left(x\right)$. Untuk mencari faktor yang lainnya kita dapat menggunakan rumus kuadrat (rumus abc) yaitu
$$\begin{array}{rcl}{x}_{1,2}& =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =& \frac{4\pm \sqrt{16+48}}{8}\\ & =& \frac{4\pm \sqrt{64}}{8}\\ & =& \frac{4\pm 8}{8}\\ x_1=\frac{4+8}{8}& \text{atau}& x_2=\frac{4-8}{8}\\ x_1=\frac{12}{8}& \text{atau}& x_2=-\frac{4}{8}\\ x_1=\frac{3}{2}& \text{atau}& x_2=-\frac{1}{2}\end{array}$$ Sehingga terlihat akar-akarnya adalah $1,-2,\frac{3}{2},-\frac{1}{2}$. Sehingga dapat disimpulkan Banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan $4x^4-15x^2+5x+6=0$ adalah $2$

22. Banyaknya akar-akar real dari persamaan $x^5+x^4-2x^3+x^2+x-2=0$ adalah ....

Jawaban

Faktor bulat dari $2$ adalah $\pm 1,\pm 2$
Untuk $x=1$ maka
$$\begin{array}{rcl}f\left(1\right)& =& 1^5+1^4-2{\left(1\right)}^3+{\left(1\right)}^2+1-2=0\\ & =& 2-2+2-2\\ & =& 0(x-1)\text{ adalah akar dari }f\left(x\right)\end{array}$$ Untuk $x=-1$ maka
$$\begin{array}{rcl}f\left(1\right)& =& {(-1)}^5+{(-1)}^4-2{(-1)}^3+{(-1)}^2+(-1)-2=0\\ & =& 0+0\\ & =& 0(x+1)\text{ adalah akar dari }f\left(x\right)\end{array}$$ Untuk $x=2$ maka
$$\begin{array}{rcl}f\left(2\right)& =& {\left(2\right)}^5+{\left(2\right)}^4-2{\left(2\right)}^3+{\left(2\right)}^2+\left(2\right)-2=0\\ & =& 32+16-16+4\\ & =& 36(x-2)\text{ bukan akar dari }f\left(x\right)\end{array}$$ Untuk $x=-2$ maka
$$\begin{array}{rcl}f(-2)& =& {(-2)}^5+{(-2)}^4-2{(-2)}^3+{(-2)}^2+(-2)-2=0\\ & =& -32+16+16+4-2-2\\ & =& 0(x+2)\text{ adalah akar dari }f\left(x\right)\end{array}$$ Jadi akar-akar realnya adalah $x_1=-1,x_2=-2$ dan $x_3=1$. Sehingga disimpulkan ada $3$ akar-akar real.

Sekian dulu postingan kali ini. Untuk mendapatkan pembahasan dalam format PDF saya sudah sediakan di postingan selanjutnya. Terima kasih. Oyah Jika anda mempunyai cara yang lebih praktis mengerjakan soal-soal diatas silahkan share disini. Selain itu, jika anda menemukan kesalahan dalam pembahasan saya diatas, mohon segera disalahkan dan dibenarkan. Mudah-mudahan bermanfaat bagi kita semua.