Persamaan Matematika Tercantik (Euler’s Identity)

Tulisan ini sebenarnya sudah di jabarkan oleh mas Aria dalam blognya disini. Namun kali ini saya ingin sedikit menulis kembali mengingat banyak yang bertanya kepada saya tentang persamaan matematika yang tercantik itu yang seperti apa. Dengan adanya pertanyaan tersebut saya ingin memberikan gambaran ulang tentang apa yang sudah di tulis oleh mas Aria dalam blognya. Sekalian dengan mengaplikasikan apa yang sudah saya dapatkan pada kuliah Analisis Kompleks dulu.

Persamaan ini juga pernah dikatakan oleh Prof. Iwan Pranoto dalam Pidato Guru Besarnya yang mengatakan bahwa persamaan tercantik dalam matematika adalah $$e^{i\pi }+1=0$$ Nah cara mendapatkan persamaan tersebut bagaimana sih ? :D. Mas Aria Sudah menjelaskan dalam blognya. Saya tinggal menulisnya saja. Hehehehe. OK Kita langsung saja ya.

Pertama kita ambil $z=\cos \theta +i\sin \theta$. Persamaan ini ada dalam persamaan bilangan kompleks. Kemudian persamaan diatas kita turunkan menjadi ${\displaystyle \frac{dz}{d\theta }}=-\sin \theta +i\cos \theta$. Nah bisa anda perhatikan bahwa $iz=i\cos \theta +i^2\sin \theta =i\cos \theta -\sin \theta$ (Ingat definisi $i^2=-1$ dalam bilangan kompleks).

Dari uraian diatas terlihat bahwa ${\displaystyle \frac{dz}{d\theta }}=iz$. Dengan menggunakan pengintegralan kita dapatkan $$\begin{array}{rcl}\frac{dz}{d\theta }& =& iz\\ \int \frac{dz}{z}& =& \int id\theta \\ \ln z& =& i\theta +C\\ z& =& e^{i\theta +C}\end{array}$$Nah tugas kita sekarang mencari konstanta $C$. Perhatikan kembali persamaan $z=\cos \theta +i\sin \theta$. jika $\theta =0$ maka $z=1$. Sehingga $C=0$. Kita mendapatkan $$z=\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$$ yang dikenal dengan nama Persamaan Euler.

Nah jika $\theta =\pi$ maka  $\cos \pi +i\sin \pi =e^{i\pi }$. Kita mendapatkan $-1=e^{i\pi }$ atau $e^{i\pi }+1=0$

QED.

Pertanyaannya adalah .......... Nah Kenapa itu disebut persamaan yang paling cantik...?

Karena ke-5 bilangan paling penting dalam matematika ada disitu $e,i,1,0,\pi$ dan menggunakan 3 operasi terpenting dalam matematika penjumlahan perkalian dan eksponensial. Ada yang bilang persamaan tersebut mengandung makna filosofi dan spritual. Bisa kita bayangkan perpaduan antara bilangan real dan imajiner menghasilkan kosong . Jadi kekosongan, kehampaan dihasilkan dari perpaduan antara kenyataan dan imajinasi.  

Referensi.

• https://ariaturns.wordpress.com/2008/09/20/persamaan-matematika-yang-paling-cantik/