Jawaban Soal Ujian Semester Matematika Kelas X SMK Semester Ganjil

Pada postingan sebelumnya saya sudah coba memposting soal ujian semester ganjil tahun pelajaran 2015-2016. Soalnya menurut saya tidaklah terlalu sulit karena memang sudah pernah saya ajarkan di kelas. Bahkan soal-soal tersebut diantaranya sudah pernah saya keluarkan dalam soal ulangan harian BAB Logaritma lalu.

Kali ini saya akan coba memposting jawaban dari soal-soal yang sudah saya keluarkan dalam Ujian semester. Bisa di cocokkan dengan jawaban kalian. OK.

1. Selesaikan Masalah perpangkatan dan bentuk akar berikut ini menjadi bentuk yang paling sederhana.

a. ${\left({\displaystyle \frac{x^6{y}^2{z}^{-2}}{x^4{y}^{-3}z}}\right)}^2$

Jawaban :
$$\begin{array}{rcl}{\left({\displaystyle \frac{x^6{y}^2{z}^{-2}}{x^4{y}^{-3}z}}\right)}^2& =& \frac{x^{12}{y}^4{z}^{-4}}{x^8{y}^{-6}{z}^2}\\ & =& x^{12-8}{y}^{4+6}{z}^{-4-2}\\ & =& x^4{y}^{10}{z}^{-6}\\ & =& \frac{x^4{y}^{10}}{z^6}\end{array}$$

b. ${\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{6}-3\sqrt{8}}}$

Jawaban :
$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{6}-3\sqrt{8}}}\times \frac{2\sqrt{6}+3\sqrt{8}}{2\sqrt{6}+3\sqrt{8}}& =& \frac{4\sqrt{2}(2\sqrt{6}+3\sqrt{8})}{{\left(2\sqrt{6}\right)}^2-{\left(3\sqrt{8}\right)}^2}\\ & =& \frac{4\sqrt{2}(2\sqrt{6}+3\sqrt{8})}{24-72}\\ & =& \frac{8\sqrt{12}+12\sqrt{16}}{-48}\\ & =& \frac{8\sqrt{12}+(12\times 4)}{-48}\\ & =& \frac{8\sqrt{12}+48}{-48}\\ & =& \frac{8\sqrt{4\times 3}+48}{-48}\\ & =& \frac{(8\times 2)\sqrt{3}+48}{-48}\\ & =& \frac{16\sqrt{3}+48}{-48}\\ & =& \frac{16(\sqrt{3}+3)}{(-16)\times 3}\\ & =& \frac{\sqrt{3}+3}{-3}\end{array}$$

c. ${\displaystyle \frac{6p^4{q}^{-2}{r}^{-1}}{3p{q}^{-3}{r}^2}}$

Jawaban :

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{6p^4{q}^{-2}{r}^{-1}}{3p{q}^{-3}{r}^2}}& =& \frac{6}{3}{p}^{4-1}{q}^{-2+3}{r}^{-1-2}\\ & =& 2p^{3}q{r}^{-3}\\ & =& \frac{2p^{3}q}{r^3}\end{array}$$

2. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut !

a. $\log (x^2-3x+7)=\log (3x+2)$

Jawaban :
$\log (x^2-3x+7)=\log (3x+2)$
$$\begin{array}{rcl}\log (x^2-3x+7)& =& \log (3x+2)\\ (x^2-3x+7)& =& (3x+2)\\ x^2-3x-3x+7-2& =& 0\\ x^2-6x+5& =& 0\\ (x-5)(x-1)& =& 0\\ (x-5)=0& \text{atau}& (x-1)=0\\ x=5& \text{atau}& x=1\end{array}$$

b. ${}^6\log (x-3){+}^6\log (x+7){=}^6\log (3x-1)$

Jawaban :
${}^6\log (x-3){+}^6\log (x+7){=}^6\log (3x-1)$
$$\begin{array}{rcl}{}^6\log (x-3){+}^6\log (x+7)& =& {}^6\log (3x-1)\\ {}^2\log (x-3)(x+7)& =& {}^6\log (3x-1)\\ (x-3)(x+7)& =& (3x-1)\\ x^2+7x-3x-21& =& 3x-1\\ x^2+4x-21& =& 3x-1\\ x^2+4x-3x-21+1& =& 0\\ x^2+x-20& =& 0\\ (x+5)(x-4)& =& 0\\ (x+5)=0& \text{atau}& (x-4)=0\\ x=-5& \text{atau}& x=4\end{array}$$

2. Jika diketahui
$$\sqrt{{}^2\log (x+7)+\sqrt{{}^2\log (x+7)+\sqrt{{}^2\log (x+7)+\sqrt{{}^2\log (x+7)+.....}}}}=2$$Tentukan nilai $2x+2$ !

Jawaban :

$$\sqrt{{}^2\log (x+7)+\sqrt{{}^2\log (x+7)+\sqrt{{}^2\log (x+7)+\sqrt{{}^2\log (x+7)+.....}}}}=2$$
kuadratkan kedua ruas menjadi
\begin{eqnarray*}
\left(\sqrt{^{2}\log\left(x+7\right)+\sqrt{^{2}\log\left(x+7\right)+\sqrt{^{2}\log\left(x+7\right)+.....}}}\right)^{2} & = & \left(2\right)^{2}\
^{2}\log\left(x+7\right)+\sqrt{^{2}\log\left(x+7\right)+\sqrt{^{2}\log\left(x+7\right)+.....}} & = & 4
\end{eqnarray*}
karena $\sqrt{{}^2\log (x+7)+\sqrt{{}^2\log (x+7)+\sqrt{{}^2\log (x+7)+\sqrt{{}^2\log (x+7)+.....}}}}=2$
maka persamaan diatas menjadi
$$\begin{array}{rcl}{}^2\log (x+7)+2& =& 4\\ {}^2\log (x+7)& =& 4-2\\ {}^2\log (x+7)& =& 2\\ (x+7)& =& 2^2\\ (x+7)& =& 4\\ x& =& 4-7\\ x& =& -3\end{array}$$Karena $x=-3$ maka
$$\begin{array}{rcl}2x+2& =& 2(-3)+2\\ & =& -6+2\\ 2x+2& =& -4\end{array}$$Jadi nilai $2x+2=-4$

3. Jika uang senilai Rp $50.000.000$ di investasikan dengan bunga majemuk $10\mathrm{\%}$ per tahun. Nilai uang setelah $n$ tahun ditentukan oleh $M_n=M_0{(1+r)}^n$ dengan
* $M_0$ = Uang Semula
* $M_n$ = Uang setelah $n$ tahun
* $r$ = Bunga majemuk per tahun (dalam Persen)

Berapa lama uang itu harus di investasikan agar nilainya menjadi Rp $75.000.000$
Petunjuk : $\log 1,5=0,1761$ dan $\log 1,1=0,0414$

Jawaban : 

Diketahui :
$M_0$ = Rp $50.000.000$
$M_n$ = Rp $75.000.000$
$r$ =  $10\mathrm{\%}$ atau $r=0,1$
Ditanyakan : $n$ agar $M_0$ menjadi Rp $75.000.000$
Jawaban :
$$\begin{array}{rcl}{M}_n& =& M_0{(1+r)}^n\\ 75.000.000& =& 50.000.000{(1+0,1)}^n\\ 75.000.000& =& 50.000.000{(1,1)}^n\\ \frac{75.000.000}{50.000.000}& =& {(1,1)}^n\\ 1,5& =& {(1,1)}^n\\ \log (1,5)& =& \log {(1,1)}^n\\ \log (1,5)& =& n\times \log (1,1)\\ n& =& \frac{\log (1,5)}{\log (1,1)}\\ n& =& \frac{0,1761}{0,0414}\\ n& =& 4,25\end{array}$$Jadi diperoleh $n=4,25$ tahun atau dengan kata lain uang itu harus
di investasikan selama $4$ tahun $3$ bulan.

4. Dengan menggunakan metode pemfaktoran, Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut !

a. $x^2-5x+6=0$

Jawaban :

$$\begin{array}{rcl}{x}^2-5x+6& =& 0\\ (x-2)(x-3)& =& 0\\ x-2=0& \text{atau}& x-3=0\\ x=2& \text{atau}& x=3\end{array}$$$HP=\{2,3\}$

b. $4x^2-5x+1=0$

Jawaban :

$$\begin{array}{rcl}\frac{(4x-4)(4x-1)}{4}& =& 0\\ (4x-4)=0& \text{atau}& (4x-1)=0\\ 4x=4& \text{atau}& 4x=1\\ x=\frac{4}{4}& \text{atau}& x=\frac{1}{4}\\ x=1& \text{atau}& x=\frac{1}{4}\end{array}$$$HP=\{{\displaystyle \frac{1}{4}},1\}$

5. Dengan lengkapkan kuadrat sempurna, Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut ! (Jawaban lihat disini)

a. $x^2+4x-12=0$

b. $4x^2+4x-9=0$

6. Dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc), Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut ! (Jawaban lihat disini)

a. $x^2-5x-6=0$

b. $5x^2+2x-6=0$

Selamat belajar...