Lanjutan Pembahasan Soal SBMPTN TPA Bidang Matematika

Melanjutkan pembahasan pada postingan sebelumnya. Pada soal ini tingkatan soal sudah mulai medium. Pembahasan hanya nomor 6 sampai dengan nomor 10. Nomor selanjutnya di bahas pada postingan selanjutnya. 

6. Agar sistem persamaan linear $$\{\begin{array}{ll}ax+by-3z& =-3\\ -2x-by+cz& =-1\\ ax+3y-cz& =-3\end{array}$$ mempunyai penyelesaian $x=1,y=-1$ dan $z=2$, maka nilai $a+b+c$ adalah ...... 

Jawaban 

 $$\{\begin{array}{ll}ax+by-3z& =-3\\ -2x-by+cz& =-1\\ ax+3y-cz& =-3\end{array}$$ Karena $x=1,y=-1$ dan $z=2$ sehingga sistem persamaan linear diatas menjadi $$\{\begin{array}{ll}a-b-6& =-3\\ -2+b+2c& =-1\\ a-3-2c& =-3\end{array}$$ Jumlahkan ketiga persamaan diatas sehingga menghasilkan $$\begin{array}{rcl}2a-2-3-6& =& 7\\ 2a& =& 4\\ a& =& 2\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}a-b-6& =& -3\\ 2-b-6& =& -3\\ -b& =& 1\\ b& =& -1\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}-2+b+2c& =& -1\\ -2-1+2c& =& -1\\ 2c& =& 2\\ c& =& 1\end{array}$$ Sehingga $$\begin{array}{rcl}a+b+c& =& 2-1+1\\ & =& 2\end{array}$$ 

 7. Jika titik $(x,y)$ memenuhi $x^2\le y\le x+6$, maka nilai maksimum $x+y$ adalah .... 

Jawaban 

 $$\begin{array}{rcl}{x}^2& \le & y\le x+6\\ x^2& \le & x+6\\ x^2-x-6& \le & 0\\ (x-3)(x+2)& \le & 0\\ -2\le & x& \le 3\\ x^2\le & y& \le x+6\\ x^2+x\le & y+x& \le 2x+6\end{array}$$ Maksimum $x+y$ adalah $2x+6$ yang dipenuhi nilai $x$ terbesar yaitu $x=3$ Jadi $$\begin{array}{rcl}{f}_{max}(x,y)& =& 2\left(3\right)+6\\ & =& 6+6\\ & =& 12\end{array}$$ 

 8. Jika $\cos x=2\sin x$, maka nilai $\sin x\cos x$ adalah ..... 

Jawaban 

 $$\begin{array}{rcl}\cos x& =& 2\sin x\\ \frac{2\sin x}{\cos x}& =& 1\\ \frac{\sin x}{\cos x}& =& \frac{1}{2}\\ \tan x& =& \frac{1}{2}\end{array}$$ Karena $\tan x=\frac{1}{2}$ maka kita dapatkan gambar berikut.

   

Kita dapatkan $\sin x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$ dan $\cos x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$ sehingga $$\begin{array}{rcl}\sin x\cos x& =& \frac{1}{\sqrt{5}}\times \frac{2}{\sqrt{5}}\\ \sin x\cos x& =& \frac{2}{5}\end{array}$$ 

 9. Suku tengah suatu barisan aritmetika adalah $23$. Jika suku terakhirnya $43$ dan suku ketiganya $13$, maka banyak suku barisan itu adalah ..... 

Jawaban 

# $U_t=23$ 

# $U_n=43$ 

# $U_3=13$ $$\begin{array}{rcl}{U}_t& =& \frac{U_1+U_n}{2}\\ U_1& =& 2U_t-U_n\\ & =& 2\left(23\right)-43\\ & =& 46-43\\ U_1& =& 3\end{array}$$ Mencari nilai $b$ dapat kita gunakan rumus ${\displaystyle b=\frac{U_n-U_1}{n-1}}$. Ambil $n=3$ menghasilkan $$\begin{array}{rcl}b& =& \frac{U_3-U_1}{3-1}\\ & =& \frac{13-3}{3-1}\\ & =& \frac{10}{2}\\ b& =& 5\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}b& =& \frac{U_n-U_1}{n-1}\\ 5& =& \frac{43-3}{n-1}\\ 5n-5& =& 40\\ 5n& =& 45\\ n& =& 9\end{array}$$banyak suku barisan itu adalah $9$ 

10. Jika $P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$ dan $\left(\begin{array}{cc}x& y\\ -z& z\end{array}\right)=2P^{-1}$ dengan $P^{-1}$ menyatakan invers matriks $P$, maka $x+y=......$ 

Jawaban $$\begin{array}{rcl}P& =& \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)\\ P^{-1}& =& \frac{1}{3-2}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right)\\ P^{-1}& =& \left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right)\end{array}$$ Dari soal juga diketahui bahwa $$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{cc}x& y\\ -z& z\end{array}\right)& =& 2P^{-1}\\ \left(\begin{array}{cc}x& y\\ -z& z\end{array}\right)& =& 2\times \left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}x& y\\ -z& z\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}6& -4\\ -2& 2\end{array}\right)\end{array}$$ Diperoleh $x=6$ dan $y=-4$. Sehingga $$\begin{array}{rcl}x+y& =& 6-4\\ & =& 2\end{array}$$