Pembahasan Soal SBMPTN TPA Bidang Matematika

Pada postingan sebelumnya saya berjanji memposting jawaban/pembahasan soal SBMPTN Bidang matematika.Soal TPA saja sudah agak rumit. Jadi silahkan dikoreksi jika ada kesalahan.

1. Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata $20\mathrm{\%}$ data diantaranya adalah $p+0,1$, $40\mathrm{\%}$ lainnya adalah $p-0,1$, $10\mathrm{\%}$ lainnya lagi adalah $p-0,5$ dan rata-rata $30\mathrm{\%}$ data sisanya adalah $p+q$, maka $q=.....$
Jawaban

Dari keterangan soal diatas kita peroleh sebagai berikut
$$\begin{gathered} 20\mathrm{\%}\times 30(p+0,1)+40\mathrm{\%}\times 30(p-0,1)+10\mathrm{\%}\times 30(p-0,5)+ \\ 30\mathrm{\%}\times 30(p+q)=30p \end{gathered}$$ Sehingga
$$\begin{array}{rcl}6p+0,6+12p-1,2+3p-1,5+9p+9q& =& 30p\\ 30p+9q-2,1& =& 30p\\ 9q-2,1& =& 0\\ 9q& =& 2,1\\ q& =& \frac{2,1}{9}\\ q& =& \frac{21}{90}\\ q& =& \frac{7}{30}\end{array}$$ Diperoleh nilai $q={\displaystyle \frac{7}{30}}$



2. Jika ${}^p\log a=2$ dan ${}^q\log 8p=2$, maka ${}^{2p}\log {\displaystyle \frac{p{q}^2}{a}}=......$
Jawaban

# ${}^p\log a=2\iff a=p^2$

# ${}^q\log 8p=2\iff 8p=q^2$
$$\begin{array}{rcl}{}^{2p}\log {\displaystyle \frac{p{q}^2}{a}}& =& {}^{2p}\log \left(\frac{p{q}^2}{p^2}\right)\\ & =& {}^{2p}\log \left(\frac{q^2}{p}\right)\\ & =& {}^{2p}\log \left(\frac{8p}{p}\right)\\ & =& {}^{2p}\log 8\\ & =& {}^{2p}\log 2^3\\ & =& 3{\times }^{2p}\log 2\\ & =& \frac{3}{{}^2\log 2p}\end{array}$$



3. Persamaan kuadrat $2x^2-px+1=0$ dengan $p>0$, mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $x^2-5x+q=0$ mempunyai akar-akar ${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}$ dan ${\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}}$, maka $q-p=......$
Jawaban
 

$2x^2-px+1=0$ kita dapatkan $\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{p}{2}}$ dan $\alpha \cdot \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$
Dari $x^2-5x+q=0$ diperoleh ${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}+\frac{1}{{\beta }^2}=5}$ dan
${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}\cdot \frac{1}{{\beta }^2}=q}$
$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{{\alpha }^2}+\frac{1}{{\beta }^2}& =& \frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{{\alpha }^2{\beta }^2}\\ 5& =& \frac{{(\alpha +\beta )}^2-2\alpha \beta }{{\left(\alpha \beta \right)}^2}\\ 5& =& \frac{{\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)}^2-2\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}\\ 5& =& \frac{\left({\displaystyle \frac{p^2}{4}}\right)-1}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}\\ 5& =& \frac{{\displaystyle \frac{p^2-4}{4}}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}\\ 5& =& p^2-4\\ p^2-9& =& 0\\ (p-3)(p+3)& =& 0\\ (p-3)=0& \text{atau}& (p+3)=0\\ p=3& \text{atau}& p=-3\end{array}$$
Karena $p>0$ maka kita ambil $p=3$
$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}\cdot \frac{1}{{\beta }^2}}& =& q\\ \frac{1}{{\left(\alpha \beta \right)}^2}& =& q\\ \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}& =& q\\ \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}& =& q\\ q& =& 4\end{array}$$
Sehingga
\begin{eqnarray*}
q-p & = & 4-3\
& = & 1
\end{eqnarray*}



4. Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model $A$ memerlukan 1 meter kain batik dan $1,5$ meter kain polos, sedang model $B$ memerlukan 2 meter kain batik dan $0,5$ meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ....
Jawaban
Misalkan Model $A=x$ dan Model $B=y$ Diperoleh fungsi kendala
$$\{\begin{array}{ll}x+2y& \le 40\\ 1,5x+0,5y& \le 15\\ x,y& \ge 0\end{array}$$
Dengan fungsi tujuan
$$f(x,y)=x+y$$
Dari fungsi kendala diatas kita mendapatkan 2 buah pertidaksamaan linear yaitu $x+2y\le 40$ dan $1,5x+0,5y\le 15$. Langkah selanjutnya adalah menentukan titik pojok dari fungsi kedala tersebut. Perhatikan grafik berikut.

Terlihat bahwa titik pojok terletak pada titik $A,B$ dan $C$. mendapatkan titik $B$ Eliminasi kedua pertidaksamaan tersebut dan menghasilkan $x=4$ dan $y=18$. Kemudian lakukan pengujian seperti di bawah ini

#. $(x,y)$ => $f(x,y)=x+y$

#. $(10,0)$ => $f(10,0)=10+0=10$

#. $(4,18)$ => $f(4,18)=4+18=22$

#. $(0,20)$ => $f(0,20)=0+20=20$

Kita dapatkan bahwa Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah 22 tercapai di titik $(4,18)$

5. Jika $2a+1<0$ dan grafik $y=x^2-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^2+2x,$ maka $a^2+1=......$
Jawaban

$$\begin{array}{rcl}2a+1& <& 0\\ a& <& -\frac{1}{2}\end{array}$$
Kedua kurva bersinggungan, artinya bahwa determinan dari $y_1-y_2=0$
$$\begin{array}{rcl}{y}_1& =& y_2\\ x^2-4ax+a& =& 2x^2+2x\\ x^2+2x+4ax-a& =& 0\\ x^2+x(2+4a)-a& =& 0\end{array}$$
Diperoleh $a=1$, $b=2+4a$ dan $c=-a$. Karena syarat $D=0$ maka
$$\begin{array}{rcl}{b}^2-4ac& =& 0\\ {(2+4a)}^2-4(-a)& =& 0\\ 4+16a+16a^2+4a& =& 0\\ 16a^2+20a+4& =& 0\\ 4a^2+5a+1& =& 0\\ (4a+1)(a+1)& =& 0\\ 4a+1=0& \text{atau}& (a+1)=0\\ 4a=-1& \text{atau}& a=-1\\ a=-\frac{1}{4}& \text{atau}& a=-1\end{array}$$
karena syarat yang diberikan adalah $a<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ maka nilai $a=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ tentunya tidak memenuhi. Jadi Nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-1$. Sehingga
$$\begin{array}{rcl}{a}^2+1& =& {(-1)}^2+1\\ & =& 1+1\\ & =& 2\end{array}$$