Pembahasan Evaluasi Modul Pelatihan Guru Mata Pelajaran Matematika SMK Kelompok Kompetensi H Bidang Profesional Trigonometri

Baiklah kali ini saya akan coba membahas tentang Evaluasi Modul Pelatihan Guru Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelompok Kompetensi H Bidang Profesional Trigonometri dalam modul persiapan Uji Kompetensi Guru. Mari kita simak penjelasan dibawah ini

Pilihlah jawaban yang paling tepat diantara pilihan A, B, C, dan D



1. Diketahui nilai $\sin x={\displaystyle \frac{1}{3}}$, dimana ${90}^{\circ }<x<{180}^{\circ }$. Maka $\tan x=......$

a. $2\sqrt{2}$
b. ${\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{2}$
c. ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}$
d. $-{\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{2}$
e. $-{\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{2}$

Jawaban : D

Jika diketahui $\sin x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ maka dapat kita buat gambarnya dalam segitiga siku-siku menjadi

Mencari panjang $AC$ kita bisa gunakan Pythagoras dan kita dapatkan panjang $AC=\sqrt{8}$. Sehingga nilai dari
$$\begin{array}{rcl}\tan x& =& \frac{1}{\sqrt{8}}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{8}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}}\\ & =& \frac{\sqrt{8}}{8}\\ & =& \frac{2\sqrt{2}}{8}\\ \tan x& =& \frac{1}{4}\sqrt{2}\end{array}$$Karena batas-batasnya adalah ${90}^{\circ }<x<{180}^{\circ }$ berada pada
kuadran II maka $\tan x$ bernilai negatif. Sehingga $\tan x={\displaystyle -\frac{1}{4}\sqrt{2}}$

2. Diberikan segitiga ABC siku-siku di C. Jika $\cos (A+C)=k$, maka nilai $\sin A+\cos B$ adalah ....

a. $-{\displaystyle \frac{1}{2}}k$
b. ${\displaystyle \frac{1}{2}}k$
c. $k$
d. $2k$
e. $-2k$

Jawaban : E

Karena segitiga $ABC$ siku-siku di $C$ atau dengan arti lain sudut $C={90}^{\circ }$ dan nilai $\cos (A+C)=k$ maka
$$\begin{array}{rcl}\cos (A+C)& =& \cos A\cos C-\sin A\sin C\\ k& =& \cos A\cos {90}^{\circ }-\sin A\sin {90}^{\circ }\\ k& =& \cos A\left(0\right)-\sin A\left(1\right)\\ k& =& -\sin A\\ \sin A& =& -k\end{array}$$
Perhatikan gambar berikut !

sehingga
$$\begin{array}{rcl}\sin A+\cos B& =& -k+(-k)\\ \sin A+\cos B& =& -2k\end{array}$$

3. Nilai dari $\sin {120}^{\circ }+\sin {420}^{\circ }$ adalah ....
a. $-\sqrt{3}$
b. $-1$
c. 0
d. 1
e. $\sqrt{3}$

Jawaban : E 
$$\begin{array}{rcl}\sin {120}^{\circ }+\sin {420}^{\circ }& =& \sin ({180}^{\circ }-{60}^{\circ })+\sin ({360}^{\circ }+{60}^{\circ })\\ & =& \sin {60}^{\circ }+\sin {60}^{\circ }\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \sin {120}^{\circ }+\sin {420}^{\circ }& =& \sqrt{3}\end{array}$$

4. Nilai dari ${\displaystyle \frac{\sin {75}^{\circ }+\sin {15}^{\circ }}{\cos {105}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }}}$
adalah .....

a. $\sqrt{3}$
b. $\sqrt{2}$
c. ${\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{3}$
d. $-\sqrt{2}$
e. $-\sqrt{3}$

Jawaban : A
$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\sin {75}^{\circ }+\sin {15}^{\circ }}{\cos {105}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }}}& =& \frac{2\sin \frac{({75}^{\circ }+{15}^{\circ })}{2}\cos \frac{({75}^{\circ }-{15}^{\circ })}{2}}{2\cos \frac{({105}^{\circ }+{15}^{\circ })}{2}\cos \frac{({105}^{\circ }-{15}^{\circ })}{2}}\\ & =& \frac{2\sin \frac{\left({90}^{\circ }\right)}{2}\cos \frac{\left({60}^{\circ }\right)}{2}}{2\cos \frac{\left({120}^{\circ }\right)}{2}\cos \frac{\left({90}^{\circ }\right)}{2}}\\ & =& \frac{2\sin \left({45}^{\circ }\right)\cos \left({30}^{\circ }\right)}{2\cos \left({60}^{\circ }\right)\cos \left({45}^{\circ }\right)}\\ & =& \frac{2\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)}{2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)}\\ {\displaystyle \frac{\sin {75}^{\circ }+\sin {15}^{\circ }}{\cos {105}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }}}& =& \sqrt{3}\end{array}$$

5. Posisi pesawat udara berada pada koordinat $(15,5\sqrt{3})$. Posisi pesawat pada koordinat kutub adalah...

a. $(10\sqrt{3},{60}^{\circ })$
b. $(10\sqrt{3},{45}^{\circ })$
c. $(10\sqrt{3},{30}^{\circ })$
d. $(10\sqrt{3},{15}^{\circ })$
e. $(10\sqrt{3},10)$

Jawaban : C

Koordinat Cartesius $(15,5\sqrt{3})$ berada pada kuadran I sehingga koordinat kutubnya adalah $(r,\theta )$
$$\begin{array}{rcl}r& =& \sqrt{x^2+y^2}\\ & =& \sqrt{{15}^2+{\left(5\sqrt{3}\right)}^2}\\ & =& \sqrt{225+75}\\ & =& \sqrt{300}\\ r& =& 10\sqrt{3}\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}\theta & =& {\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\\ & =& {\tan }^{-1}\left(\frac{5\sqrt{3}}{15}\right)\\ & =& {\tan }^{-1}\left(\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)\\ \theta & =& {30}^{\circ }\end{array}$$

6. Diberikan segitiga $ABC$ dengan panjang sisi $AB=3$ dan sisi $AC=4$, sedangkan sudut $A={60}^{\circ }$. Nilai dari kosinus $C$ adalah...

a. ${\displaystyle \frac{5}{26}}\sqrt{13}$
b. ${\displaystyle \frac{5}{29}}\sqrt{13}$
c. ${\displaystyle \frac{5}{42}}\sqrt{13}$
d. ${\displaystyle \frac{5}{52}}\sqrt{13}$
e. ${\displaystyle \frac{1}{5}}\sqrt{13}$

Jawaban : A

Dengan aturan cosinus kita dapatkan

$$\begin{array}{rcl}B{C}^2& =& A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A\\ & =& 3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos {60}^{\circ }\\ & =& 9+16-24\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\\ & =& 25-12\\ B{C}^2& =& 13\\ BC& =& \sqrt{13}\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}A{B}^2& =& A{C}^2+B{C}^2-2AC\cdot BC\cdot \cos C\\ 3^2& =& 4^2+{\left(\sqrt{13}\right)}^2-2\cdot 4\cdot \sqrt{13}\cdot \cos C\\ 9& =& 16+13-8\sqrt{13}\cos C\\ 9& =& 29-8\sqrt{13}\cos C\\ 8\sqrt{13}\cos C& =& 29-9\\ 8\sqrt{13}\cos C& =& 20\\ \cos C& =& \frac{20}{8\sqrt{13}}\times \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}\\ & =& \frac{20\sqrt{13}}{8\times 13}\\ & =& \frac{5\sqrt{13}}{2\times 13}\\ \cos C& =& \frac{5\sqrt{13}}{26}\end{array}$$

7. Pada segitiga $ABC$ dengan sisi $a,b$ dan $c$ berlaku $a^2-b^2=c^2-bc$. Maka besar sudut $A$ adalah ....

a. ${15}^{\circ }$
b. ${30}^{\circ }$
c. ${45}^{\circ }$
d. ${60}^{\circ }$
e. ${75}^{\circ }$

Jawaban : D

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rcl}{a}^2-b^2& =& c^2-bc\\ bc& =& c^2+b^2-a^2\end{array}$$
Dengan aturan cosinus kita dapatkan
$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos A\\ \cos A& =& \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ & =& \frac{bc}{2bc}\\ \cos A& =& \frac{1}{2}\\ A& =& {\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\\ A& =& {60}^{\circ }\end{array}$$

Untuk sementara cukup 7 nomor dulu yah. Besok disambung lagi sampe nomor 15. Sekian dan terima kasih. Pantau terus blog ini yah....