Fungsi Invers dan Beberapa Soal-Soal Beserta Penyelesaian tentang Diferensial

Sudah lama sekali rasanya saya tidak memposting tentang soal-soal dan pembahasannya. Kali ini saya berikan sedikit teori tentang fungsi invers yang masih erat kaitannya dengan postingan saya yang kemarin. Perlu sobat blogger ketahui bahwa tulisan ini adalah hasil dari catatan kuliah analisis real dahulu dan beberapa referensi yang saya dapatkan di internet. Kritik dan saran sangat saya harapkan demi kesempurnaan tulisan dan blog ini.

Fungsi invers

Pada Postingan ini dibahas hubungan derivatif fungsi dan derivatif inversnya, seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Misalkan $I \subset \mathbb{R}$ suatu interval, dan $f:I \longrightarrow \mathbb{R}$ fungsi monoton tegas dan kontinu pada $I$. Bila $J=f(I)$ dan $g:J \longrightarrow \mathbb{R}$ monoton tegas dan kontinu, invers fungsi $f$. Bila $f$ terdiferensial di $c \in I$ dan $f'(c) \neq 0$, maka $g$ terdiferensial di $d:=f(c)$, dimana
\begin{eqnarray}g'(d)=\frac{1}{f'(c)}=\frac{1}{f'(g(d))}\end{eqnarray}

Untuk pembuktiannya silahkan anda lihat pada buku teks Introduction to real analysis edisi 3 karangan Robert Bartle dan Donal Sherbert halaman 165.

Untuk sementara dilewatkan dulu memahami buktinya, tapi pahami dulu maksud teoremanya. Untuk memahami teorema ini, beberapa istilah: fungsi kontinu, monoton tegas, fungsi invers harus dipahami kembali.

Misalkan $n \in \mathbb{N}, I:=[0,\infty)$ dan misalkan $f(x)=x^n$. Dengan mudah dapat dimengerti bahwa $f$ monoton tegas dan kontinu pada $I$, sehingga inversnya ada yaitu $g(y)=y^{1/n}$ untuk $y\in J :=[0,\infty)$ juga monoton tegas, kontinu. Diketahui pula $f'(x)=nx^{n-1}$ untuk semua $x\in I$. Jadi berdasarkan hal ini, jika $y>0$ maka $g'(y)$ ada, yaitu:
$$g'(y)=\frac{1}{f'(g(y))}=\frac{1}{n(g(y))^{n-1}}=\frac{1}{n(y^{1/n})^{n-1}}=\frac{1}{ny^{(n-1)/n}}$$
Akhirnya disimpulkan $g'(y)=\frac{1}{n}y^{(1/n)-1},y>0$.

Soal-soal dan penyelesaiannya

Gunakan defenisi untuk menentukan derivatif fungsi berikut.
a. $f(x):=x^3,\, x \in \mathbb{R}$
b. $k(x):=\frac{1}{\sqrt{x}},\,x>0$

Penyelesaian

Untuk (a), ambil sebarang $c \in \mathbb{R}$. Diperoleh
\begin{eqnarray*}
f'(c):=\lim_{x \to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}&=&\lim_{x \to c}\frac{x^3-c^3}{x-c}\\
&=&\lim_{x \to c}\frac{(x-c)(x^2+xc+c^2)}{x-c}\\
&=&c^2+c\cdot c+c^2\\
&=&3c^2
\end{eqnarray*}
Jadi, $f(x)=3x^2$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}$.

Untuk bagian (b) diambil sembarang $c>0$ didapat:
\begin{eqnarray*}
k'(c):=\lim_{x \to c} \frac{k(x)-k(c)}{x-c}&=&\lim_{x \to c}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{c}}}{x-c}\\&=&\lim_{x \to c} \frac{(\sqrt{c}-\sqrt{x})}{(x-c)(\sqrt{xc})}\\&=&\lim_{x \to c} \frac{(\sqrt{c}-\sqrt{x})}{\sqrt{xc}(\sqrt{x}-\sqrt{c})(\sqrt{x}+\sqrt{c})}\\&=&\lim_{x \to c} \frac{-1}{\sqrt{xc}(\sqrt{x}+\sqrt{c})}\\&=&-\frac{1}{c \cdot 2 \sqrt{2}}\\&=&-\frac{1}{2c \sqrt{c}}\end{eqnarray*}
Karena bentuk ini terdefenisi untuk setiap $c > 0$ maka diperoleh $k'(x) =-\frac{1}{2x\sqrt{x}},\,\,x>0$

Tunjukkan fungsi $f(x):=x^{1/3},\,\, x \in \mathbb{R}$ tidak terdiferensial di $x=0$.

Penyelesaian

Dibentuk pecahan yang mengarah pada $f'(0)$, yaitu
$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x^{1/3}-0}{x}=\frac{1}{x^{2/3}}$$
Selanjutnya tunjukkan bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2/3}}$ tidak ada. (Petunjuk : Gunakan kriteria barisan untuk limit).
Karena $\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ tidak ada maka disimpulkan bahwa $f'(x)$ tidak ada.

Misalkan fungsi $f$ terdefenisi pada $\mathbb{R}$ dengan
$$f(x):=\begin{cases}
x^2 & \mbox{Jika}\,\, x\,\, \mbox{rasional}\\
0 & \mbox{Jika}\,\, x \,\, \mbox{irrasional}
\end{cases}$$
Buktikan $f$ terdiferensial di $0$, dan tentukan $f'(0)$ !

Penyelesaian

Berdasarkan defenisi fungsi ini diperoleh $f(0)=0$. Diperhatikan bentuk $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}$, diperoleh:
Misalkan fungsi $f$ terdefenisi pada $\mathbb{R}$ dengan
$$\frac{f(x)}{x}=\begin{cases}
x & \mbox{Jika}\,\, x\,\, \mbox{rasional}\\
0 & \mbox{Jika}\,\, x\,\, \mbox{irrasional}
\end{cases}$$
Selanjutnya ditunjukkan $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}$. Misalkan $(x_n)$ barisan yang konvergen ke $0$, maka
diperoleh barisan $\left(\frac{f(x_n)}{x_n}\right)$ sebagai berikut:
$$\frac{f(x_n)}{x_n}=\begin{cases}
x_n & \mbox{Jika}\,\, x_n \,\,\mbox{rasional}\\
0 & \mbox{Jika}\,\, x_n \,\,\mbox{irrasional}
\end{cases}$$
Jadi apapun kasusnya barisan $\left(\frac{f(x_n)}{x_n}\right)$ konvergen ke $0$. Terbukti limitnya ada dan $f'(0)=0$

Tentukan turunan berikut ini dan sederhanakanlah !
a. $f(x):=\frac{x}{1+x^2}$
b. $h(x):=(\sin(x^k))^m,m,k \in \mathbb{N}$

Penyelesaian

Untuk bagian (a) dapat anda kerjakan sendiri dengan menggunakan aturan turunan hasil bagi. Untuk (b) gunakan aturan rantai sebagai berikut:
\begin{eqnarray*}
h'(x)&=&m(\sin(x^k))^{m-1} \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin (x^k) \right)\\
&=&m(\sin(x^k))^{m-1} \cdot \cos(x^k) \cdot \frac{d}{dx} \left(x^k\right)\\
&=&m(\sin(x^k))^{m-1} \cdot \cos(x^k) \cdot kx^{k-1}\\
&=&kmx^{k-1} (\sin(x^k))^{m-1} \cdot \cos(x^k)
\end{eqnarray*}

Misalkan $n \in \mathbb{N}$ dan $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ didefenisikan sebagai berikut
$$f(x):=\begin{cases}
x^n & \text{untuk} \,\, x \geq 0\\
0 & \text{untuk} \,\, x<0
\end{cases}$$
Tentukan nilai $n$ apa saja yang membuat fungsi ini kontinu di $0$. Pertanyaan yang sama yang membuat fungsi ini terdiferensial di $0$.

Penyelesaian

Syarat kontinu di $0$ : $\lim_{x \to 0}f(x)=f(0)=0$. Agar syarat ini dipenuhi maka haruslah $\lim_{x \to 0}x^n=0$. Syarat ini otomatis dipenuhi untuk setiap bilangan asli $n$.

Jadi fungsi ini kontinu untuk setiap $n\in \mathbb{N}$. Untuk keterdiferensialan di $0$, diperhatikan bentuk berikut:

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}=\begin{cases}
x^{n-1} & \text{jika}\,\, x \geq 0\\
0 & \text{jika}\,\, x <0
\end{cases}$$
Agar $f'(0)$ ada, maka haruslah $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ ada. Agar limit ini ada maka nilainya haruslah $0$. Jadi harus dipenuhi $$\lim_{x \to 0}x^{n-1}=0$$ Keadaan ini hanya dipenuhi oleh $n=2,3,4, \cdots$

Sudah dulu yah. Capek nulis equationnya. Hehehehe. Kalau ada pertanyaan bisa coret-coret di kolom komentar dibawah.