Pembahasan Problem This Week Kemarin

Melanjutkan postingan kemarin, saya coba untuk membahas Pembahasan Problem This Week yang sempat saya tinggalkan kemarin, Saya mencoba untuk membahas dengan detail semampu saya. Jika pembaca ada cara yang lebih simple bisa langsung menuliskannya di kotak komentar yang ada di bawah postingan ini. Soal ini saya ambil dari soal-soal SBMPTN Saintek Bidang matematika tahun 2014. Penjelasannya ada dibawah ini.

1. Diketahui $P$ dan $Q$ suatu polinomial sehingga $P\left(x\right)Q\left(x\right)$ dibagi $x^2-1$ bersisa $3x+5$. Jika $Q\left(x\right)$ dibagi $x-1$ bersisa 4, maka $P\left(x\right)$ dibagi $x-1$ bersisa .....

Jawaban : 

$Q\left(x\right)=(x-1)\cdot H\left(x\right)+4$ kita dapatkan
$Q\left(1\right)=4$. Sementara $P\left(x\right)$ dibagi $x-1$ sama
halnya dengan $P\left(1\right)$ Sehingga
$$\begin{array}{rl}P\left(x\right)Q\left(x\right)& =(x^2-1)\cdot H\left(x\right)+3x+5\\ P\left(x\right)Q\left(x\right)& =(x-1)(x+1)\cdot H\left(x\right)+3x+5\\ P\left(1\right)Q\left(1\right)& =3+5\\ 4P\left(1\right)& =8\\ P\left(1\right)& =2\end{array}$$

2. Banyaknya akar real $f\left(t\right)=t^9-t$ adalah ....

Jawaban : 

$$\begin{array}{rl}{t}^9-t& =t(t^8-1)\\ & =t(t^4-1)(t^4+1)\\ & =t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)\\ & =t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)\end{array}$$
sehingga akar realnya ada 3 yaitu $0,1$ dan $-1$

3. Bila $\sin ({40}^{\circ }+x)=a$, $0^{\circ }<x<{45}^{\circ }$, maka $\cos ({70}^{\circ }+x)=.......$

Jawaban : 

Sebelum kita mengerjakan soal ini terlebih dahulu kita mengingat kembali rumus Trigonometri Sudut Ganda
$$\begin{array}{rl}\sin (x+y)& =\sin x\cos y+\sin y\cos x\\ \cos (x+y)& =\cos x\cos y-\sin x\sin y\end{array}$$
Perhatikan bahwa $\sin ({40}^{\circ }+x)=a$ sehingga kita dapatkan $({70}^{\circ }+x)=({40}^{\circ }+x)+{30}^{\circ }$. Karena $\sin ({40}^{\circ }+x)=a$ kita peroleh gambar berikut

 Dari gambar diatas kita dapatkan $\cos ({40}^{\circ }+x)=\sqrt{1-a^2}$ sehingga
$$\begin{array}{rl}\cos ({40}^{\circ }+x)+{30}^{\circ }& =\cos ({40}^{\circ }+x)\cos {30}^{\circ }-\sin ({40}^{\circ }+x)\sin {30}^{\circ }\\ & =\sqrt{1-a^2}\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)-a\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{\sqrt{1-a^2}\cdot \sqrt{3}}{2}-\frac{a}{2}\\ \cos ({70}^{\circ }+x)& =\frac{\sqrt{3(1-a^2)}-a}{2}\end{array}$$

4. Misalkan $A\left(t\right)$ menyatakan luas daerah dibawah kurva $y=b{x}^2$, $0\le x\le t$. Jika titik $P(x_0,0)$ sehingga $A\left(x_0\right):A\left(1\right)=1:8$, maka perbandingan luas trapesium $ABPQ:DCPQ=......$

Jawaban :

$A\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}b{x}^{2}dx}$ dengan
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{A\left(x_0\right)}{A\left(1\right)}}& ={\displaystyle \frac{1}{8}}\\ {\displaystyle \frac{{\int }_0^{x_0}b{x}^{2}dx}{{\int }_0^{1}b{x}^{2}dx}}& =\frac{1}{8}\\ \frac{{\left[\frac{1}{3}b{x}^3\right]}_0^{x_0}}{{\left[\frac{1}{3}b{x}^3\right]}_0^1}& =\frac{1}{8}\\ \frac{\frac{1}{3}b{\left(x_0\right)}^3}{\frac{1}{3}b{\left(1\right)}^3}& =\frac{1}{8}\\ x_0^3& =\frac{1}{8}\\ x_0& =\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\\ x_0& =\frac{1}{2}\end{array}$$ Perhatikan kembali gambar dalam soal

# Untuk $x=0$ maka $y=0$

# Untuk $x=1$ maka $y=b$

# Untuk $x=\frac{1}{2}$ maka $y=\frac{b}{4}$$$\begin{array}{rl}\frac{ABPQ}{DCPQ}& =\frac{\frac{1}{2}(b+\frac{b}{4})\cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{2}(b+\frac{b}{4})\frac{1}{2}}\\ \frac{ABPQ}{DCPQ}& =\frac{3}{1}\end{array}$$perbandingan luas trapesium $ABPQ:DCPQ$ adalah $3:1$

Demikian pembahasan  Pembahasan Problem This Week Kemarin Mudah-Mudahan bermanfaat untuk kita semua. Kritik dan saran bisa coret-coret di kolom komentar dibawah.

Jika ada jawaban/pembahasan yang lebih simpel bisa juga coret-coret di blog ini yah. Terima kasih