Pembahasan Kompetensi Modul F Matematika SMK tentang Kalkulus dan Geometri Analitis

Hallow sobat blogger semua. Sudah lama setelah ganti domain dan hosting malah jarang update artikel. Mengingat koneksi internet dan kesibukan di dunia nyata sampai-sampai terlupakan aktivitas di dunia maya. Janji tinggal janji dan ternyata gak sempat posting artikel setiap hari. Mudah-mudahan kedepannya akan coba posting artikel yang berlanjut.

Pada kesempatan kali ini blogmatematika akan coba memposting artikel tentang Pembahasan Kompetensi Modul F Matematika SMK tentang Kalkulus dan Geometri Analitis. Pada Postingan sebelumnya saya sudah membahas tentang Modul H tentang Trigonometri yang sudah saya selesaikan semuanya. Namun pada pembahasan kali ini tersisa 1 soal yang belum sempat saya jawab. Mudah-mudahan kalau sudah dapat ide langsung saya update pembahasannya. Ayok kita mulai saja yah....

Soal dan Pembahasan

1.   Pisau pemotong kayu dapat bergerak mengikuti persamaan $s\left(t\right)={\displaystyle \frac{t^2+4t-12}{t-2}}$ cm. Posisi pisau pemotong ketika mendekati dua detik adalah $\dots$ cm.

a. 6
b. 8
c. 10
d. 12

Jawaban : B
$$\begin{array}{rcl}s\left(t\right)& =& {\displaystyle \frac{t^2+4t-12}{t-2}}\\ & =& \underset{t\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{t^2+4t-12}{t-2}}\\ & =& \underset{t\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{(t+6)(t-2)}{t-2}}\\ & =& \underset{t\to 2}{lim}(t+6)\\ & =& 2+6\\ & =& 8\end{array}$$Posisi pisau pemotong ketika mendekati dua detik adalah $8$ cm

2.  Sebuah perusahaan tekstil memproduksi $x$ unit pakaian per hari dengan biaya $2x^3-150x^2+3.600x$ rupiah. Banyaknya barang yang harus diproduksi setiap harinya supaya biaya produksi menjadi minimal adalah ...unit

a. 20
b. 25
c. 30
d. 35

Jawaban : B
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 2x^3-150x^2+3.600x\\ f^{\prime }\left(x\right)& =& 6x^2-300x+3.600\\ f^{″}\left(x\right)& =& 12x-300\end{array}$$Minimum terjadi jika $f^{″}\left(x\right)=0$ Sehingga
$$\begin{array}{rcl}12x-300& =& 0\\ 12x& =& 300\\ x& =& \frac{300}{12}\\ x& =& 25\end{array}$$Banyaknya barang yang harus diproduksi setiap harinya supaya biaya produksi menjadi minimal adalah 25 unit

3.  Sebuah mobil bergerak dengan persamaan $V\left(t\right)=4t^3+6t-5$ dengan $V$ dalam satuan meter per sekon dan $t$ dalam satuan sekon. Perpindahan mobil setelah menempuh waktu $t=2$ sekon adalah...meter

a. 10
b. 12
c. 14
d. 18

Jawaban : D
$$\begin{array}{rcl}V\left(t\right)& =& 4t^3+6t-5\\ a\left(t\right)& =& \int (4t^3+6t-5)dt\\ a\left(t\right)& =& t^4+3t^2-5t\end{array}$$
}Perpindahan mobil saat $t=2$ adalah
$$\begin{array}{rcl}a\left(2\right)& =& 2^4+3\left(2^2\right)-5\left(2\right)\\ & =& 16+12-10\\ a\left(2\right)& =& 18\end{array}$$Perpindahan mobil setelah menempuh waktu $t=2$ sekon adalah 18 meter

4.  Pilar sebuah jembatan tampak seperti gambar berikut.

Luas daerah yang diarsir adalah...satuan luas

a. $84{\displaystyle \frac{1}{3}}$
b. $84{\displaystyle \frac{2}{3}}$
c. $85{\displaystyle \frac{1}{3}}$
d. $85{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Jawaban : C

Dari grafik diatas, terlihat bahwa fungsi $f\left(x\right)=16-x^2$ memiliki titik potong sebagai berikut
$$\begin{array}{rcl}16-x^2& =& 0\\ (4-x)(4+x)& =& 0\\ x=4& \text{atau}& x=-4\end{array}$$

Titik potongnya adalah $(-4,4)$ Sehingga luasnya adalah

$$\begin{array}{rcl}L& =& {\int }_{-4}^4(16-x^2)dx\\ & =& {[16x-\frac{1}{3}{x}^3]}_{-4}^4\\ & =& [(16\left(4\right)-\frac{1}{3}{\left(4\right)}^3)-(16(-4)-\frac{1}{3}{(-4)}^3)]\\ & =& [(64-\frac{64}{3})-((-64)+\frac{64}{3})]\\ & =& [64-\frac{64}{3}+64-\frac{64}{3}]\\ & =& 128-\frac{128}{3}\\ & =& \frac{384-128}{3}\\ & =& \frac{256}{3}\\ L& =& 85\frac{1}{3}\end{array}$$ luas daerah yang diarsir adalah ${\displaystyle 85\frac{1}{3}}$ satuan luas

5. Gambar berikut menunjukkan penampang dari piringan antena radio.

Seorang teknisi telah menempatkan suatu titik pada penampang antena yang terletak $0,75$ meter di atas dan $6$ meter di kanan dari titik pusatnya. Seharusnya teknisi menempatkan fokus antena sebesar $\dots$ meter dari titik pusat

a. 3
b. 6
c. 9
d. 12

Jawaban : D

Perhatikan untuk titik pusat $P(0,0)$ maka persamaan parabola adalah $x^2=4py$. Karena titik $(6,0.75)$ maka
$$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& 4py\\ 6^2& =& 4p(0,75)\\ 36& =& 3p\\ p& =& \frac{36}{3}\\ p& =& 12\end{array}$$
Seharusnya teknisi menempatkan fokus antena sebesar $12$ meter dari titik pusat. Artinya Fokus parabola tersebut $(0,12)$ atau dengan kata lain, fokus seharusnya ditempatkan $12$ meter diatas titik pusatnya.

6. Komet-komet akan mengitari matahari dengan lintasn berbentuk hiperbola dengan matahari sebagai alah satu titik fokusnya.

Lintasan komet yang diilustrasikan oleh gambar di atas dimodelkan dengan persamaan $8.100x^2-14.400y^2=116.640.000$. Jarak komet tersebut dengan matahari adalah...juta mil

a. 30
b. 50
c. 100
d. 150

Jawaban : A

Perhatikan Persamaan Hiperbola adalah
$$\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}=1$$
Sementara Persamaan Komet adalah $8.100x^2-14.400y^2=116.640.000$. Akan kita sederhanakan menjadi
$$\begin{array}{rcl}8.100x^2-14.400y^2& =& 116.640.000\\ \frac{x^2}{14.400}-\frac{y^2}{8.100}& =& 1\\ \frac{x^2}{{120}^2}-\frac{y^2}{{90}^2}& =& 1\end{array}$$
Kita dapatkan $a=120$ dan $b=90$. Karena Jarak di definisikan dengan $f^2=a^2+b^2$ maka
$$\begin{array}{rcl}{f}^2& =& a^2+b^2\\ f^2& =& {120}^2+{90}^2\\ f^2& =& 14.400+8.100\\ f^2& =& 22.500\\ f& =& \sqrt{22.500}\\ f& =& 150\end{array}$$Karena $a=120$ dan $|f|=150$, jarak komet tersebut dengan matahari adalah $$\begin{array}{rcl}r& =& f-a\\ r& =& 150-120\\ r& =& 30\end{array}$$
Jarak komet tersebut dengan matahari adalah 30 juta mil

7. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya $120$ m dan kecepatan airnya $4$ $m/s$. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus dengan kecepatan $3m/s$, maka panjang lintasan yang ditempuh perahu
hingga sampai ke seberang sungai adalah ...$m$

a. 200
b. 225
c. 250
d. 275

Jawaban : A

Dari keterangan soal kita dapatkan
$$\begin{array}{rcl}t& =& \frac{s}{v}\\ & =& \frac{120}{3}\\ t& =& 40s\end{array}$$
Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rcl}V& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ & =& \sqrt{9+16}\\ & =& \sqrt{25}\\ V& =& 5\end{array}$$
Sehingga
$$\begin{array}{rcl}S& =& V\times t\\ & =& 5\times 40\\ S& =& 200\end{array}$$
panjang lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang sungai adalah 200 $m$

8. Sebuah pesawat terbang $200$ mil dalam arah membentuk sudut ${30}^{\circ }$ diukur dari selatan ke barat. Maka komponen perpindahan pesawat dalam arah Barat adalah ...mil

a. 100
b. 150
c. $100\sqrt{2}$
d. $100\sqrt{3}$

Jawaban : A

Dari keterangan soal kita dapatkan $\theta ={30}^{\circ }$ dan $r=200$ Sehingga
$$\begin{array}{rcl}\text{Arah Barat }& =& r\sin \theta \\ & =& 200\cdot \sin {30}^{\circ }\\ & =& 200\cdot \frac{1}{2}\\ \text{Arah Barat }& =& 100\end{array}$$
Catatan : jika yang ditanyakan adalah arah selatan maka kita
menggunakan $r\cos \theta$}

9. Pada perhitungan gaya-gaya reaksi dan bidang momen terhadap perletakan jepit diperoleh persamaan berikut :
$$\{\begin{array}{ll}2H+2V+M& =4\\ 2H+4V+2M& =10\\ 2H+3V+2M& =6\end{array}$$

Nilai determinan $V$ (gaya vertikal) sebesar ......

a. 6
b. 7
c. 8
d. 9

10. Hubungan antara Roda gigi $A$ dan Roda Gigi $B$ tampak seperti gambar berikut.

Jari-jari masing-masing roda jika dinyatakan dengan matriks adalah
$\left[\begin{array}{c}{r}_A\\ r_B\end{array}\right]=......$

a. $-{\displaystyle \frac{1}{3}}\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}20\\ 22\end{array}\right]$
b. $-{\displaystyle \frac{1}{3}}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}20\\ 22\end{array}\right]$
c. ${\displaystyle \frac{1}{3}}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}20\\ 22\end{array}\right]$
d. $-{\displaystyle \frac{1}{3}}\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}20\\ 22\end{array}\right]$

Jawaban : A

Perhatikan gambar pada soal ! Kita mendapatkan
$$\{\begin{array}{ll}{r}_A+2r_B& =20\\ 2r_A+r_B& =22\end{array}$$
Dari sistem persamaan linear diatas dapat kita bentuk matriks ber ordo $2\times 2$ yaitu
$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{r}_A\\ r_B\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}20\\ 22\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}{r}_A\\ r_B\end{array}\right)& =& {\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}20\\ 22\end{array}\right)\\ & =& \frac{1}{1-4}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}20\\ 22\end{array}\right)\\ & =& \frac{1}{-3}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}20\\ 22\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}{r}_A\\ r_B\end{array}\right)& =& -\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}20\\ 22\end{array}\right)\end{array}$$

Penutup

Sekian dulu pembahasan tentang kalkulus dan geometri analitis kali ini. Lain kali kita sambung lagi. untuk Format PDF nya saya upload di postingan selanjutnya