Notasi Sigma dan Sifat-Sifatnya dalam Matematika

Notasi sigma dilambangkan dengan " $\sum$ " adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk mempersingkat penulisan penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku suatu deret. Penjumlahan pada notasi sigma dilakukan dengan meningkatkan indeksnya satu dari batas bawah sampai batas atasnya.

Definisi Notasi Sigma

Notasi Sigma memiliki simbol ${\displaystyle \sum _k^{n}f}$. dimana $k$ adalah Batas Bawah dan $n$ adalah Batas Atas, serta ada fungsi yang akan dihitung nilainya.

Penulisan notasi sigma :

Jika diketahui suatu barisan tak hingga $a_1,a_2,a_3,...,a_n,$ maka jumlah dari $n$ suku pertama barisan tersebut dinyatakan dengan ${\displaystyle \sum _{k=1}^n,a_k}$. artinya bentuk ${\displaystyle \sum _{k=1}^n,a_k=a_1+a_2+a_3+...+a_n}$.



Catatan :

* Indeks $k,$ bertambah satu terus dari batas bawah $(k=1)$ sampai batas atas $(k=n)$.
* Indeks $k,$ bisa diganti dengan huruf lain, misalkan $i,,j,,$ dan lainnya.
* $a_k,$ adalah suatu fungsi dengan variabel $k$ .

Contoh soal notasi sigma :

Nyatakan setiap Notasi sigma berikut dalam bentuk deret dan hitunglah hasilnya :
a). ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,k}$
b). ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,3k}$
c). ${\displaystyle \sum _{i=1}^3,(i^2+5)}$
d). ${\displaystyle \sum _{j=0}^3,(j^2-2j+1)}$

Penyelesaian :

a). ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,k}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^5,k}& =1+2+3+4+5\\ & =15\end{array}$
Sehingga deretnya : ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,k=1+2+3+4+5}$
Jadi, nilai ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,k=15}$.

b). ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,3k}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^5,3k}& =3.1+3.2+3.3+3.4+3.5\\ & =3+6+9+12+15\\ & =45\end{array}$
Sehingga deretnya : ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,3k=3+6+9+12+15}$
Jadi, nilai ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,3k=45}$.

c). ${\displaystyle \sum _{i=1}^3,(i^2+5)}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^3,(i^2+5)}& =(1^2+5)+(2^2+5)+(3^2+5)\\ & =(1+5)+(4+5)+(9+5)\\ & =(6)+(9)+(14)\\ & =29\end{array}$
Sehingga deretnya : ${\displaystyle \sum _{i=1}^3,(i^2+5)=(6)+(9)+(14)}$
Jadi, nilai ${\displaystyle \sum _{i=1}^3,(i^2+5)=29}$.

d). ${\displaystyle \sum _{j=0}^3,(j^2-2j+1)}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{j=0}^3,(j^2-2j+1)}& =(0^2-2.0+1)+(1^2-2.1+1)+(2^2-2.2+1)+(3^2-2.3+1)\\ & =(1)+(1-2+1)+(4-4+1)+(9-6+1)\\ & =(1)+(0)+(1)+(4)\\ & =6\end{array}$
Sehingga deretnya : ${\displaystyle \sum _{j=0}^3,(j^2-2j+1)=(1)+(0)+(1)+(4)}$
Jadi, nilai ${\displaystyle \sum _{j=0}^3,(j^2-2j+1)=6}$.

Beberapa Rumus Umum Notasi Sigma

Jumlah deret aritmatika, deret kuadrat dan kubik dalam notasi sigma :

1. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n,k=1+2+3+...+n=\frac{1}{2}n(n+1)}$
2. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n,k^2=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$ 
3. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n,k^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3={({\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1))}^2}$

Contoh soal :

#Tentukan hasil dari bentuk notasi sigma berikut ini :

a). ${\displaystyle \sum _{k=1}^{2017},k}$
b). ${\displaystyle \sum _{i=1}^{2016},i^2}$
c). ${\displaystyle \sum _{i=1}^{1991},j^3}$


Penyelesaian :


Kita langsung gunakan rumus umum di atas :

a). ${\displaystyle \sum _{k=1}^{2017},k,}$ , artinya $n=2017$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{2017},k}& =1+2+3+...+2017\\ & =\frac{1}{2}n(n+1)\\ & =\frac{1}{2}\times 2017\times (2017+1)\\ & =\frac{1}{2}\times 2017\times (2018)\\ & =2017\times (1009)\\ & =2.035.153\end{array}$
Jadi, nilai ${\displaystyle \sum _{k=1}^{2017},k=2.035.153}$

b). ${\displaystyle \sum _{i=1}^{2016},i^2,}$ , artinya $n=2016$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^{2016},i^2}& =1^2+2^2+3^2+...+{2016}^2\\ & =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ & =\frac{1}{6}\times 2016\times (2016+1)\times (2\times 2016+1)\\ & =\frac{1}{6}\times 2016\times (2017)\times (4033)\mathrm{\&}=336\times (2017)\times (4033)\\ & =2.733.212.496\end{array}$
Jadi, nilai ${\displaystyle \sum _{i=1}^{2016},i^2=2.733.212.496}$

c). ${\displaystyle \sum _{i=1}^{1991},j^3,}$ , artinya $n=1991$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^{1991},j^3}& =1^3+2^3+3^3+...+{1991}^3\\ & ={(\frac{1}{2}n(n+1))}^2\\ & ={(\frac{1}{2}\times 1991\times (1991+1))}^2\\ & ={(\frac{1}{2}\times 1991\times (1992))}^2\\ & ={(1991\times 996)}^2\\ & ={\left(1.983.036\right)}^2\\ & =3.932.431.777.296\end{array}$
Jadi, nilai ${\displaystyle \sum _{i=1}^{1991},j^3=3.932.431.777.296}$

#Tentukan bentuk notasi sigma dari deret berikut ini :

a). $1+3+5+7+9+11+13+15$
b). $1+4+9+16+25+36$
c). $2+4+6+8+10+...+2n$
d). $1+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{7}+\frac{5}{9}+...$
e). $y_1+y_2+y_3+...+y_{25}$
f). $x^n+x^{n-1}y+x^{n-2}{y}^2+...+x{y}^{n-1}+y^n$


Penyelesaian :


Untuk mengubah kebentuk notasi sigma, maka kita harus tahu dulu rumus suku ke-$n$ untuk masing-masing deret.

a). $1+3+5+7+9+11+13+15$
Deret ini adalah deret aritmatika dengan $b=2,$ dan $a=1$,
Sehingga $u_n=a+(n-1)b=1+(n-1).2=2n-1$.

Bentuk notasi sigmanya :
$\begin{array}{rl}1+3+5+7+9+11+13+15& =(2.1-1)+(2.2-1)+(2.3-1)+...+(2.8-1)\\ & ={\displaystyle \sum _{i=1}^8,(2i-1)}\end{array}$

b). $1+4+9+16+25+36$
Bentuk notasi sigmanya :
$\begin{array}{rl}1+4+9+16+25+36& =1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^6,k^2}\end{array}$

c). $2+4+6+8+10+...+2n$
Bentuk notasi sigmanya :
$\begin{array}{rl}2+4+6+8+10+...+2n& =2.1+2.2+2.3+2.4+2.5+...+2n\\ & ={\displaystyle \sum _{j=1}^n,2j}\end{array}$

d). $1+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{7}+\frac{5}{9}+...$
Bentuk $1+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{7}+\frac{5}{9}+...=\frac{1}{1}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{7}+\frac{5}{9}+...$
Perhatikan pembilangnya : $1,2,3,4,5,....,$ , artinya suku ke-$n$ adalah $u_n=n$
Perhatikan penyebutnya : $1,3,5,7,9,....,$ , sama seperti bagian (a) yaitu $u_n=2n-1$
Sehingga rumus suku ke-$n$ dari deret ini adalah $u_n={\displaystyle \frac{n}{2n-1}}$.

Bentuk notasi sigmanya :
$\begin{array}{rl}1+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{7}+\frac{5}{9}+...& =\frac{1}{1}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{7}+\frac{5}{9}+...+\frac{n}{2n-1}\\ & =\frac{1}{2.1-1}+\frac{2}{2.2-1}+\frac{3}{2.3-1}+\frac{4}{2.4-1}+...+\frac{n}{2n-1}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^n,\frac{k}{2k-1}}\end{array}$

e). $y_1+y_2+y_3+...+y_{25}$
Bentuk notasi sigmanya :
$\begin{array}{rl}{y}_1+y_2+y_3+...+y_{25}& ={\displaystyle \sum _{i=1}^{25},y_i}\end{array}$

f). $x^n+x^{n-1}y+x^{n-2}{y}^2+...+x{y}^{n-1}+y^n$
Bentuk notasi sigmanya :
$\begin{array}{rlr}& x^n+x^{n-1}y+x^{n-2}{y}^2+...+x{y}^{n-1}+y^n& =x^{n-0}{y}^0+x^{n-1}y+x^{n-2}{y}^2+...+x^{n-(n-1)}{y}^{n-1}+x^{n-n}{y}^n\\ & ={\displaystyle \sum _{k=0}^n,x^{n-k}{y}^k}\end{array}$

Sifat-sifat Notasi Sigma

berikut adalah sifat-sifat notasi sigma yang akan bisa membantu kita untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan notasi sigma.

1. ${\displaystyle \sum _{k=1}^n,c=n.c,}$ , dengan $c,$ adalah konstanta. Bentuk lebih umumnya : ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,c=(n-m+1).c}$
2. ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,c{a}_k=c\times {\displaystyle \sum _{k=m}^n,a_k}}$.
3. ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,(a_k+b_k)={\displaystyle \sum _{k=m}^n,a_k+{\displaystyle \sum _{k=m}^n,b_k}}}$.
4. ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,(a_k-b_k)={\displaystyle \sum _{k=m}^n,a_k-{\displaystyle \sum _{k=m}^n,b_k}}}$.
5. ${\displaystyle \sum _{k=n}^n,a_k=0}$.
6. ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,a_k={\displaystyle \sum _{k=m}^{p-1},a_k+{\displaystyle \sum _{k=p}^n,a_k}}}$.
7. ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,a_k={\displaystyle \sum _{k=m+p}^{n+p},a_{k-p}={\displaystyle \sum _{k=m-p}^{n-p},a_{k+p}}}}$. dengan nilai $m<p<n$ .

Contoh soal sifat-sifat notasi sigma :

# Tentukan hasil dari notasi sigma berikut sesuai dengan sifat-sifatnya.

a). ${\displaystyle \sum _{k=5}^{2016},4}$
b). ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,2k}$
c). ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,(k^2+3k)}$
d). ${\displaystyle \sum _{k=5}^5,(k^5+7)}$
e). ${\displaystyle \sum _{k=1}^{15},(k+3)}$

f). ${\displaystyle \sum _{k=1001}^{1009},(5k+3)}$

Penyelesaian :

a). ${\displaystyle \sum _{k=5}^{2016},4}$
Berdasarkan sifat (1) : ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,c=(n-m+1).c}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=5}^{2016},4}& =\underset{\text{sebanyak }(2016-5+1)}{\underbrace{4+4+4+...+4}}\\ & =(2016-5+1).4\\ & =(2012).4\\ & =8048\end{array}$

b). ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,2k}$
Bedasarkan sifat (2) : ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,c{a}_k=c\times {\displaystyle \sum _{k=m}^n,a_k}}$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^5,2k}& =2\times {\displaystyle \sum _{k=1}^5,k}\\ & =2\times (1+2+3+4+5)\\ & =2\times (15)\\ & =30\end{array}$

c). ${\displaystyle \sum _{k=1}^5,(k^2+3k)}$
Bedasarkan sifat (3) : ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,(a_k+b_k)={\displaystyle \sum _{k=m}^n,a_k+{\displaystyle \sum _{k=m}^n,b_k}}}$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^5,(k^2+3k)}& ={\displaystyle \sum _{k=1}^5,k^2+{\displaystyle \sum _{k=1}^5,3k}}\\ & =(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)+3\times {\displaystyle \sum _{k=1}^5,k}\\ & =(1+4+9+16+25)+3\times (1+2+3+4+5)\\ & =(55)+3\times (15)\\ & =(55)+45\\ & =100\end{array}$

d). ${\displaystyle \sum _{k=5}^5,(k^5+7)}$
Bedasarkan sifat (5) : ${\displaystyle \sum _{k=n}^n,a_k=0}$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=5}^5,(k^5+7)}& =0\end{array}$

e). ${\displaystyle \sum _{k=1}^{15},(k+3)}$
Bedasarkan sifat (6) : ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,a_k={\displaystyle \sum _{k=m}^{p-1},a_k+{\displaystyle \sum _{k=p}^n,a_k}}}$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^{15},(k+3)}& ={\displaystyle \sum _{k=1}^9,(k+3)+{\displaystyle \sum _{k=10}^{15},(k+3)}}\end{array}$

f). ${\displaystyle \sum _{k=1001}^{1009},(5k+3)}$
Bedasarkan sifat (7) : ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,a_k={\displaystyle \sum _{k=m-p}^{n-p},a_{k+p}}}$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1001}^{1009},(5k+3)}& ={\displaystyle \sum _{k=1001-1000}^{1009-1000},[5(k+1000)+3]}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^9,(5k+5003)}\end{array}$

#Hasil dari ${\displaystyle \sum _{k=2}^{2016},(2k-1{)}^2-4{\displaystyle \sum _{k=2}^{2016},(k^2-k+1),}}$ adalah ....?


Penyelesaian :

Untuk soal ini sebenarnya bisa langsung kita hitung, hanya saja akan menyulitkan kita karena batasnya sangat besar (dari 2 sampai 2016), sebaiknya kita menggunakan sifat-sifat notasi sigma saja.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=2}^{2016},(2k-1{)}^2-4{\displaystyle \sum _{k=2}^{2016},(k^2-k-3)}}& ={\displaystyle \sum _{k=2}^{2016},(4k^2-4k+1)-4{\displaystyle \sum _{k=2}^{2016},(k^2-k+1),,,,\text{ (sifat 2)}}}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=2}^{2016},(4k^2-4k+1)-{\displaystyle \sum _{k=2}^{2016},(4k^2-4k+4),,,,\text{(sifat 3)}}}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=2}^{2016},[(4k^2-4k+1)-(4k^2-4k+4)]}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=2}^{2016},(-3),,,,\text{(sifat 1)}}\\ & =(2016-2+1)\times (-3)\\ & =(2015)\times (-3)\\ & =-6.045\end{array}$

#Jika diketahui nilai ${\displaystyle \sum _{i=1}^{36}f(i)=245,}$ dan ${\displaystyle \sum _{i=20}^{36}f(i)=145,,}$ maka nilai dari ${\displaystyle \sum _{i=1}^{19}f(i),}$ adalah ...?


Penyelesaian :

Gunakan sifat (6) : ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,a_k={\displaystyle \sum _{k=m}^{p-1},a_k+{\displaystyle \sum _{k=p}^n,a_k}}}$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^{36}f(i)}& ={\displaystyle \sum _{i=1}^{19}f(i)+{\displaystyle \sum _{i=20}^{36}f(i)245}}\\ & ={\displaystyle \sum _{i=1}^{19}f(i)+145{\displaystyle \sum _{i=1}^{19}f(i)}}\\ & =100\end{array}$
Jadi, nilai ${\displaystyle \sum _{i=1}^{19}f(i)=100}$.

#Diketahui nilai ${\displaystyle \sum _{k=1}^{20}k=x,}$ . Tentukan nilai dari ${\displaystyle \sum _{k=1001}^{1020}(2k-1999),}$ ?

Penyelesaian :

Bedasarkan sifat (7) : ${\displaystyle \sum _{k=m}^n,a_k={\displaystyle \sum _{k=m-p}^{n-p},a_{k+p}}}$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1001}^{1020}(2k-1999)}& ={\displaystyle \sum _{k=1001-1000}^{1020-1000}(2(k+1000)-1999)}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^{20}(2k+2000-1999)}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^{20}(2k+1),,,,,\text{(sifat 3)}}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^{20}2k+{\displaystyle \sum _{k=1}^{20},(1),,,,,\text{(sifat 1 dan 2)}}}\\ & =2{\displaystyle \sum _{k=1}^{20}k+(20-1+1)\times 1}\\ & =2x+20\end{array}$

Sumber Referensi : http://konsep-matematika.com