Notasi Sigma dan Sifat-Sifatnya dalam Matematika

Notasi sigma dilambangkan dengan " $\sum$ " adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk mempersingkat penulisan penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku suatu deret. Penjumlahan pada notasi sigma dilakukan dengan meningkatkan indeksnya satu dari batas bawah sampai batas atasnya.

Definisi Notasi Sigma

Notasi Sigma memiliki simbol $\displaystyle \sum_{k}^{n}  f $. dimana $k$ adalah Batas Bawah dan $n$ adalah Batas Atas, serta ada fungsi yang akan dihitung nilainya.

Penulisan notasi sigma :

Jika diketahui suatu barisan tak hingga $a_1, a_2, a_3, . . .,a_n, $ maka jumlah dari $n$ suku pertama barisan tersebut dinyatakan dengan $ \displaystyle \sum_{k=1}^n , a_k $. artinya bentuk $\displaystyle \sum_{k=1}^n , a_k = a_1 + a_2 + a_3 + ...+a_n $.



Catatan :

* Indeks $ k , $ bertambah satu terus dari batas bawah $(k=1)$ sampai batas atas $(k=n)$.
* Indeks $ k , $ bisa diganti dengan huruf lain, misalkan $ i , , j, , $ dan lainnya.
* $ a_k , $ adalah suatu fungsi dengan variabel $ k $ .

Contoh soal notasi sigma :

Nyatakan setiap Notasi sigma berikut dalam bentuk deret dan hitunglah hasilnya :
a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , k $
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , 3k $
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} , (i^2 + 5) $
d). $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} , (j^2 - 2j + 1) $

Penyelesaian :

a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , k $
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , k & = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \\  & = 15 \end{align*} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , k = 15 $.

b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , 3k $
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , 3k & = 3.1 + 3.2 + 3.3 + 3.4 + 3.5 \\  & = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 \\& = 45 \end{align*} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , 3k = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , 3k = 45 $.

c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} , (i^2 + 5) $
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{i=1}^{3} , (i^2 + 5) & = (1^2 + 5) + (2^2 + 5) + (3^2 + 5)\\ & = (1 + 5) + (4 + 5) + (9 + 5) \\ & = (6) + (9) + (14) \\ & = 29 \end{align*} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} , (i^2 + 5) = (6) + (9) + (14) $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{3} , (i^2 + 5) = 29 $.

d). $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} , (j^2 - 2j + 1) $
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{j=0}^{3} , (j^2 - 2j + 1) & = (0^2 - 2.0 + 1) + (1^2 - 2.1 + 1) + (2^2 - 2.2 + 1) + (3^2 - 2.3 + 1) \\  & = (1) + (1 - 2 + 1) + (4 - 4 + 1) + (9 - 6 + 1) \\& = (1) + (0) + ( 1) + (4) \\  & = 6 \end{align*} $
Sehingga deretnya : $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} , (j^2 - 2j + 1) = (1) + (0) + ( 1) + (4) $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{j=0}^{3} , (j^2 - 2j + 1) = 6 $.

Beberapa Rumus Umum Notasi Sigma

Jumlah deret aritmatika, deret kuadrat dan kubik dalam notasi sigma :

1. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} , k = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}n(n+1) $
2. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} , k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $ 
3. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} , k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left( \dfrac{1}{2}n(n+1) \right)^2 $

Contoh soal :

#Tentukan hasil dari bentuk notasi sigma berikut ini :

a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} , k $
b). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} , i^2 $
c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} , j^3 $


Penyelesaian :


Kita langsung gunakan rumus umum di atas :

a). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} , k , $ , artinya $ n = 2017 $.
$\begin{align*} \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} , k & = 1 + 2 + 3 + ... + 2017 \\ & = \frac{1}{2}n(n+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2017+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2018) \\ & = 2017 \times (1009) \\ & = 2.035.153 \end{align*} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} , k = 2.035.153 $

b). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} , i^2 , $ , artinya $ n = 2016 $.
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} , i^2 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 2016^2 \\ & = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2016+1) \times (2 \times 2016+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2017) \times (4033) \ \& = 336 \times (2017) \times (4033) \\& = 2.733.212.496 \end{align*} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} , i^2 = 2.733.212.496 $

c). $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} , j^3 , $ , artinya $ n = 1991 $.
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} , j^3 & = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 1991^3 \\ & = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \\& = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1991+1) \right)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1992) \right)^2 \\& = \left( 1991 \times 996 \right)^2 \\& = \left( 1.983.036 \right)^2 \\& = 3.932.431.777.296 \end{align*} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} , j^3 = 3.932.431.777.296 $

#Tentukan bentuk notasi sigma dari deret berikut ini :

a). $ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 $
b). $ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 $
c). $ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n $
d). $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $
e). $ y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} $
f). $ x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n $


Penyelesaian :


Untuk mengubah kebentuk notasi sigma, maka kita harus tahu dulu rumus suku ke-$n$ untuk masing-masing deret.

a). $ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 $
Deret ini adalah deret aritmatika dengan $ b= 2 , $ dan $ a = 1 $,
Sehingga $ u_n = a + (n-1)b = 1 + (n-1).2 = 2n - 1 $.

Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align*} 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 & = (2.1 - 1) + (2.2 - 1) + (2.3 - 1 ) + ...+(2.8 - 1 ) \\   & = \displaystyle \sum_{i=1}^{8} , (2i - 1) \end{align*} $

b). $ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 $
Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align*} 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 \\   & = \displaystyle \sum_{k=1}^{6} , k^2 \end{align*} $

c). $ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n $
Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align*} 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n & = 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.4 + 2.5 + ... + 2n \\   & = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} ,2j \end{align*} $

d). $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $
Bentuk $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $
Perhatikan pembilangnya : $ 1,2,3,4,5, .... , $ , artinya suku ke-$n$ adalah $ u_n = n $
Perhatikan penyebutnya : $ 1,3,5,7,9, .... , $ , sama seperti bagian (a) yaitu $ u_n = 2n-1 $
Sehingga rumus suku ke-$n $ dari deret ini adalah $ u_n = \dfrac{n}{2n-1} $.

Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align*} 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... & = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... + \frac{n}{2n-1} \\& = \frac{1}{2.1- 1} + \frac{2}{2.2-1} + \frac{3}{2.3-1} + \frac{4}{2.4-1} + ... + \frac{n}{2n-1} \\& = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} , \frac{k}{2k-1} \end{align*} $

e). $ y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} $
Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align*} y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} & = \displaystyle \sum_{i=1}^{25} , y_i \end{align*} $

f). $ x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n $
Bentuk notasi sigmanya :
$ \begin{align*} & x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n \ & = x^{n-0}y^0 + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + x^{n-(n-1)} y^{n-1} + x^{n-n}y^n \\& = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} , x^{n-k}y^k \end{align*} $

Sifat-sifat Notasi Sigma

berikut adalah sifat-sifat notasi sigma yang akan bisa membantu kita untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan notasi sigma.

1. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} , c = n . c , $ , dengan $ c , $ adalah konstanta. Bentuk lebih umumnya : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , c = (n-m+1) . c $
2. $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , c a_k = c \times \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , a_k $.
3. $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , (a_k + b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , a_k +\displaystyle \sum_{k=m}^{n} , b_k $.
4. $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , (a_k - b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , a_k -\displaystyle \sum_{k=m}^{n} , b_k $.
5. $ \displaystyle \sum_{k=n}^{n} , a_k = 0 $.
6. $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} , a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} , a_k $.
7. $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , a_k = \displaystyle \sum_{k=m+p}^{n+p} , a_{k-p} = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} , a_{k+p} $. dengan nilai $ m < p < n $ .

Contoh soal sifat-sifat notasi sigma :

# Tentukan hasil dari notasi sigma berikut sesuai dengan sifat-sifatnya.

a). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{2016} , 4 $
b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} ,2k $
c). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} ,(k^2 + 3k) $
d). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{5} ,(k^5 + 7) $
e). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{15} ,(k + 3) $
f). $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} ,(5k + 3) $

Penyelesaian :

a). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{2016} , 4 $
Berdasarkan sifat (1) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , c = (n-m+1) . c $
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{k=5}^{2016} , 4 & = \underbrace{4 + 4 + 4 + ... + 4}_{\text{sebanyak } (2016 - 5 + 1) } \\  & = (2016 - 5 + 1) . 4 \\& = (2012) . 4 \\  & = 8048 \end{align*} $

b). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} ,2k $
Bedasarkan sifat (2) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , c a_k = c \times \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , a_k $.
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} ,2k & = 2 \times \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , k \\ & = 2 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \\ & = 2 \times (15) \\& = 30 \end{align*} $

c). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} ,(k^2 + 3k) $
Bedasarkan sifat (3) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , (a_k + b_k) = \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , a_k + \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , b_k $.
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{k=1}^{5} ,(k^2 + 3k) & = \displaystyle \sum_{k=1}^{5} ,k^2 + \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , 3k \\& = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) + 3 \times \displaystyle \sum_{k=1}^{5} , k \\& = (1 + 4 + 9 + 16 + 25) + 3 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \\& = (55) + 3 \times (15) \\   & = (55) + 45 \\& = 100 \end{align*} $

d). $ \displaystyle \sum_{k=5}^{5} ,(k^5 + 7) $
Bedasarkan sifat (5) : $ \displaystyle \sum_{k=n}^{n} , a_k = 0 $.
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{k=5}^{5} ,(k^5 + 7) & = 0 \end{align*} $

e). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{15} ,(k + 3) $
Bedasarkan sifat (6) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} , a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} , a_k $.
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{k=1}^{15} ,(k + 3) & = \displaystyle \sum_{k=1}^{9} ,(k + 3) + \displaystyle \sum_{k=10}^{15} ,(k + 3) \end{align*} $

f). $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} ,(5k + 3) $
Bedasarkan sifat (7) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , a_k = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} , a_{k+p} $.
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{k=1001}^{1009} ,(5k + 3) & = \displaystyle \sum_{k=1001 -1000}^{1009-1000} ,[5(k + 1000) + 3] \\& = \displaystyle \sum_{k=1}^{9} ,(5 k + 5003) \end{align*} $

#Hasil dari $ \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} ,(2k -1)^2 - 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2016} ,(k^2 - k + 1) , $ adalah ....?


Penyelesaian :

Untuk soal ini sebenarnya bisa langsung kita hitung, hanya saja akan menyulitkan kita karena batasnya sangat besar (dari 2 sampai 2016), sebaiknya kita menggunakan sifat-sifat notasi sigma saja.
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} ,(2k -1)^2 - 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2016} ,(k^2 - k - 3) & = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} ,(4k^2 - 4k + 1) - 4\displaystyle \sum_{k=2}^{2016} ,(k^2 - k + 1) , , , , \text{  (sifat 2)} \\& = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} ,(4k^2 - 4k + 1) - \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} ,(4k^2 - 4k + 4) , , , , \text{(sifat 3)} \\& = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} ,[ (4k^2 - 4k + 1) - (4k^2 - 4k + 4)] \\& = \displaystyle \sum_{k=2}^{2016} ,(-3) , , , , \text{(sifat 1)} \\& = (2016 - 2 + 1) \times (-3) \\& = (2015) \times (-3) \\& = -6.045 \end{align*} $

#Jika diketahui nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{36} f(i) = 245 , $ dan $ \displaystyle \sum_{i=20}^{36} f(i) = 145 , , $ maka nilai dari $ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) , $ adalah ...?


Penyelesaian :

Gunakan sifat (6) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , a_k = \displaystyle \sum_{k=m}^{p-1} , a_k + \displaystyle \sum_{k=p}^{n} , a_k $.
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{i=1}^{36} f(i) & = \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) + \displaystyle \sum_{i=20}^{36} f(i) \,245 \\& = \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) + 145 \ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) \\& = 100 \end{align*} $
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{i=1}^{19} f(i) = 100 $.

#Diketahui nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{20} k = x , $ . Tentukan nilai dari $ \displaystyle \sum_{k=1001}^{1020} (2k - 1999) , $ ?

Penyelesaian :

Bedasarkan sifat (7) : $ \displaystyle \sum_{k=m}^{n} , a_k = \displaystyle \sum_{k=m-p}^{n-p} , a_{k+p} $.
$ \begin{align*} \displaystyle \sum_{k=1001}^{1020} (2k - 1999) & = \displaystyle \sum_{k=1001 - 1000}^{1020 -1000} (2(k+1000) - 1999) \\& = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} (2k + 2000 - 1999) \\& = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} (2k + 1) , , , , , \text{(sifat 3)} \\& = \displaystyle \sum_{k=1}^{20} 2k + \displaystyle \sum_{k=1}^{20} , (1) , , , , , \text{(sifat 1 dan 2)} \\& = 2\displaystyle \sum_{k=1}^{20} k + (20-1+1) \times 1 \\& = 2 x + 20 \end{align*} $

Sumber Referensi : http://konsep-matematika.com