Pembuktian Fungsi Invers

Pada postingan saya di Fungsi Invers dan Beberapa Soal-Soal Beserta Penyelesaian tentang Diferensial saya coba bahas soal tentang diferensial khusus pada pokok bahasan fungsi invers. Namun saya tidak membuktikan teorema dari fungsi invers. Nah di postingan kali ini kita akan coba buktikan teorema tersebut serta kaitannya dengan teorema fungsi invers pada materi sebelumnya. 

Fungsi Invers

Sekarang kita akan menghubungkan turunan dari suatu fungsi dengan turunan dari fungsi inversnya, ketika fungsi invers tersebut ada. Kita akan membatasi perhatian kita pada fungsi yang kontinu dan monoton ketat, serta menggunakan Teorema Invers Kontinu (Teorema 5.6.5) untuk memastikan keberadaan fungsi invers kontinu.

Kita coba bahas dulu teorema 5.6.5 tadi

Sekarang kita akan mempertimbangkan keberadaan fungsi invers untuk fungsi-fungsi yang kontinu pada suatu interval $I \subseteq \mathbb{R}$.  

Kita mengingat kembali  bahwa suatu fungsi $f : I \to \mathbb{R}$ memiliki fungsi invers jika dan hanya jika $f$ bersifat injektif (satu-satu); artinya, untuk setiap $x, y \in I$ dengan $x \neq y$ berlaku $f(x) \neq f(y)$.  

Kita mencatat bahwa fungsi yang monoton ketat bersifat injektif dan dengan demikian memiliki fungsi invers.  

Pada bagian berikutnya, kita akan menunjukkan bahwa jika $f : I \to \mathbb{R}$ adalah fungsi kontinu dan monoton ketat, maka $f$ memiliki fungsi invers $g$ pada 

\[J := f(I)\]

yang juga bersifat monoton ketat dan kontinu pada $J$. Secara khusus, jika $f$ naik ketat maka $g$ juga naik ketat, dan jika $f$ turun ketat maka $g$ pun turun ketat.

5.6.5 Teorema Invers Kontinu

Teorema.

Misalkan $I \subseteq \mathbb{R}$ adalah suatu interval dan $f : I \to \mathbb{R}$ merupakan fungsi yang monoton ketat dan kontinu pada $I$.  

Maka fungsi invers $g$ dari $f$ bersifat monoton ketat dan kontinu pada 

\[J := f(I).\]

Bukti.

Kita akan mempertimbangkan kasus ketika $f$ naik ketat, dan membiarkan kasus ketika $f$ turun ketat untuk pembaca.  

Karena $f$ kontinu dan $I$ merupakan suatu interval, maka berdasarkan Teorema Pelestarian Interval (Teorema 5.3.10) diperoleh bahwa 

\[J := f(I)\]adalah suatu interval. Selain itu, karena $f$ naik ketat pada $I$, maka $f$ bersifat injektif pada $I$; dengan demikian, fungsi $g : J \to \mathbb{R}$ sebagai invers dari $f$ memang ada.  

Kita akan menunjukkan bahwa $g$ juga naik ketat.  

Misalkan $y_1, y_2 \in J$ dengan $y_1 < y_2$, maka $y_1 = f(x_1)$ dan $y_2 = f(x_2)$ untuk beberapa $x_1, x_2 \in I$.  

Haruslah $x_1 < x_2$; sebaliknya, jika $x_1 \ge x_2$, maka akan berakibat $f(x_1) \ge f(x_2)$, yang bertentangan dengan hipotesis bahwa $y_1 < y_2$.  

Oleh karena itu, diperoleh

\[g(y_1) = x_1 < x_2 = g(y_2).\]

Karena $y_1$ dan $y_2$ dipilih secara sembarang dalam $J$ dengan $y_1 < y_2$, maka dapat disimpulkan bahwa $g$ naik ketat pada $J$.

Selanjutnya, kita perlu menunjukkan bahwa $g$ kontinu pada $J$.  

Namun, hal ini merupakan akibat dari fakta bahwa $g(J) = I$ adalah suatu interval.  

Andaikan $g$ tidak kontinu pada suatu titik $c \in J$, maka loncatan $g$ di $c$ tidak bernilai nol sehingga

\[\lim_{y \to c^-} g(y) < \lim_{y \to c^+} g(y).\]

Jika kita memilih sembarang bilangan $x$ dengan 

\[\lim_{y \to c^-} g(y) < x < \lim_{y \to c^+} g(y),\]

maka $x$ memiliki sifat bahwa $x \neq g(y)$ untuk setiap $y \in J$.  

Hal ini berlawanan dengan kenyataan bahwa $I$ adalah suatu interval.  

Oleh karena itu, kita menyimpulkan bahwa $g$ kontinu pada $J$.

\[\text{Q.E.D.}\]

Jika $f$ adalah fungsi kontinu dan monoton ketat pada suatu interval $I$, maka fungsi inversnya 

\[g = f^{-1}\]

terdefinisi pada interval 

\[J := f(I)\]

dan memenuhi relasi

\[g(f(x)) = x \quad \text{untuk} \quad x \in I.\]

Jika $c \in I$ dan $d := f(c)$, serta kita mengetahui bahwa baik $f'(c)$ maupun $g'(d)$ ada, maka kita dapat mendiferensialkan kedua sisi dari persamaan tersebut dan menerapkan Aturan Rantai pada sisi kiri untuk mendapatkan

\[g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1.\]

Dengan demikian, jika $f'(c) \neq 0$, maka kita peroleh

\[g'(d) = \frac{1}{f'(c)}.\]

Namun, perlu diperhatikan bahwa untuk menentukan keberadaan turunan dari fungsi invers $g$, kita harus menurunkan terlebih dahulu sifat dapat-didiferensialkannya fungsi asal $f$.  Proses ini dapat dilakukan dengan baik menggunakan Teorema Carathéodory.

6.1.8 Teorema

Misalkan $I$ adalah suatu interval dalam $\mathbb{R}$ dan $f : I \to \mathbb{R}$ merupakan fungsi yang monoton ketat dan kontinu pada $I$. Misalkan $J := f(I)$ dan $g : J \to \mathbb{R}$ menjadi fungsi monoton ketat dan kontinu yang merupakan invers dari $f$. Jika $f$ dapat didiferensialkan di $c \in I$ dan $f'(c) \neq 0$, maka $g$ juga dapat didiferensialkan di $d := f(c)$ dan\[g'(d) = \frac{1}{f'(c)} = \frac{1}{f'(g(d))}.\]

Bukti.  

Untuk setiap $c \in \mathbb{R}$, dari Teorema Carathéodory 6.1.5, terdapat suatu fungsi $\varphi$ pada $I$ yang kontinu di $x$, sehingga

\[f(x) - f(c) = \varphi(x) (x - c)\]

untuk $x \in I$, dan $\varphi(c) = f'(c)$.  

Karena $\varphi(c) \neq 0$ menurut hipotesis, terdapat suatu lingkungan $V := (c - \delta, c + \delta)$ sehingga $\varphi(x) \neq 0$ untuk semua $x \in V \cap I$.  

(Jika $U := f(V \cap I)$, maka fungsi invers $g$ memenuhi $f(g(y)) = y$ untuk semua $y \in U$.)

Dari sini kita peroleh:

\[y - d = f(g(y)) - f(c) = \varphi(g(y)) \, (g(y) - g(d)).\]

Karena $\varphi(g(y)) \neq 0$ untuk setiap $y \in U$, kita dapat membaginya sehingga:

\[g(y) - g(d) = \frac{1}{\varphi(g(y))} \, (y - d).\]

Karena fungsi $1 / (\varphi \circ g)$ kontinu di $d$, kita dapat menerapkan \textit{Teorema 6.1.5} untuk menyimpulkan bahwa $g'(d)$ ada dan

\[g'(d) = \frac{1}{\varphi(g(d))} = \frac{1}{\varphi(c)} = \frac{1}{f'(c)}.\]

\[\text{Q.E.D.}\]

Catatan.

Hipotesis pada Teorema 6.1.8 yang menyatakan bahwa $f'(c) \neq 0$ bersifat penting.  

Jika $f'(c) = 0$, maka fungsi invers $g$ tidak akan pernah dapat didiferensialkan di titik $d = f(c)$, karena jika turunan $g'(d)$ dianggap ada, maka akan diperoleh

\[1 = f'(c) g'(d) = 0,\]

yang merupakan kontradiksi.  

Sebagai contoh, fungsi $f(x) = x^3$ pada $x = 0$ memenuhi kondisi ini.

6.1.9 Teorema

Misalkan $I$ adalah suatu interval dan $f : I \to \mathbb{R}$ adalah fungsi yang monoton ketat pada $I$. Misalkan $J := f(I)$ dan $g : J \to \mathbb{R}$ merupakan fungsi invers dari $f$.  Jika $f$ terdiferensialkan pada $I$ dan $f'(x) \neq 0$ untuk setiap $x \in I$, maka $g$ dapat didiferensialkan pada $J$ dan \[g' = \frac{1}{f' \circ g}.\]

Bukti.

Jika $f$ dapat didiferensialkan pada $I$, maka Teorema 6.1.2 menyatakan bahwa $f$ kontinu pada $I$.  Dengan Teorema Invers Kontinu 5.6.5, fungsi invers $g$ juga kontinu pada $J$.  

Persamaan di atas mengikuti langsung dari Teorema 6.1.8.

\[\text{Q.E.D.}\]

Catatan

Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi yang disebutkan pada Teorema 6.1.9, dan jika $x \in I$ serta $y \in J$ berhubungan melalui

\[y = f(x) \quad \text{dan} \quad x = g(y),\]

maka persamaan (13) dapat ditulis dalam bentuk

\[g'(y) = \frac{1}{(f' \circ g)(y)}, \quad y \in J,\]

atau secara ekuivalen,

\[(g' \circ f)(x) = \frac{1}{f'(x)}, \quad x \in I.\]

Persamaan tersebut juga dapat ditulis dalam bentuk

\[g'(y) = \frac{1}{f'(x)},\]

dengan catatan bahwa $x$ dan $y$ saling berhubungan melalui

\[y = f(x) \quad \text{dan} \quad x = g(y).\]

6.1.10 Contoh

(a) Fungsi $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yang didefinisikan oleh

\[f(x) := x^5 + 4x + 3\] adalah fungsi kontinu dan naik ketat (karena merupakan jumlah dari dua fungsi naik ketat).  Selain itu, turunan $f'(x) = 5x^4 + 4$ selalu positif.  Oleh karena itu, menurut Teorema 6.1.8, fungsi invers $g = f^{-1}$ dapat didiferensialkan di setiap titik.  Jika kita ambil $c = 1$, maka karena $f(1) = 8$, kita peroleh \[g'(8) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{9}.\]

(b) Misalkan $n \in \mathbb{N}$ bilangan genap, biarkan $I := [0, \infty)$, dan $f(x) := x^n$ untuk $x \in I$.  Telah ditunjukkan pada Bagian 5.6 bahwa jika $f$ naik ketat dan kontinu pada $I$, maka fungsi inversnya $g(y) := y^{1/n}$ untuk $y \in J := [0, \infty)$ juga naik ketat dan kontinu pada $J$.  

Selain itu, $f'(x) = nx^{n-1}$ untuk semua $x \in I$.  

Dengan demikian, untuk $y > 0$, turunan $g'(y)$ ada dan

\[g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))} = \frac{1}{n(g(y))^{n-1}} = \frac{1}{n y^{(n-1)/n}}.\]

Dengan kata lain,

\[g'(y) = \frac{1}{n} y^{(1/n)-1}, \quad \text{untuk } y > 0.\]

Namun, $g$ tidak dapat didiferensialkan di titik $0$. 

(c) Misalkan $n \in \mathbb{N}$, $n \neq 1$, dan $b$ adalah bilangan real.  

Definisikan $F(x) := x^n$ untuk $x \in \mathbb{R}$, dan $G(y) := y^{1/n}$ sebagai fungsi inversnya yang terdefinisi untuk semua $y \in \mathbb{R}$.  

Seperti pada bagian (b), kita dapatkan bahwa $G$ dapat didiferensialkan untuk $y \neq 0$, dan

\[G'(y) = \frac{1}{n} y^{(1/n)-1}.\]

Namun, $G$ tidak dapat didiferensialkan di titik $0$, walaupun $G$ kontinu di sana.  

(d) Misalkan $r := m/n$ adalah bilangan rasional positif, biarkan $I := [0, \infty)$, dan definisikan $R(x) := x^r$ untuk $x \in I$. (Mengingat Definisi 5.6.6.)  Maka $R$ merupakan komposisi dari dua fungsi $f(x) := x^m$ dan $g(x) := x^{1/n}$, dengan $x \in I$. Artinya,

\[R(x) = f(g(x)) = (x^{1/n})^m = x^{m/n}.\]

Dengan menerapkan Aturan Rantai pada Teorema 6.1.6 dan hasil dari bagian (b) (untuk $c > 0$), kita peroleh:

\[R'(x) = f'(g(x)) g'(x) = m(x^{1/n})^{m-1} \cdot \frac{1}{n} x^{(1/n)-1}.\]

Sehingga,

\[R'(x) = \frac{m}{n} x^{(m/n)-1} = r x^{r-1},\]

untuk semua $x > 0$.  

Jika $r > 1$, dapat ditunjukkan bahwa turunan tersebut juga ada di $x = 0$, dan $R'(0) = 0$.  

(e) Fungsi sinus ($\sin x$) naik ketat pada interval $I := [-\pi/2, \pi/2]$; oleh karena itu, fungsi inversnya yang kita sebut $\arcsin$, eksis pada $J := [-1, 1]$.  Jika $x \in [-\pi/2, \pi/2]$ dan $y = \sin x$, maka $x=\arcsin y$.  

Dari Aturan Rantai dan Teorema 6.1.8, kita peroleh:

\[D \arcsin y = \frac{1}{D \sin x} = \frac{1}{\cos x}.\]

Karena $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, maka:

\[D \arcsin y = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sin x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}},\]

untuk semua $y \in (-1, 1)$. Turunan $\arcsin$ tidak ada pada titik $y = \pm 1$.

Robert  G Bartle and Donal Sherbert Introduction to real analysis THIRD EDITION John Wiley and Sons 2000