Soal Logaritma Lanjutan

Pada potingan sebelumnya  saya sempat memposting soal logaritma SMA sederhana saja. namun pada kesempatan kali ini saya akan mencoba memposting soal logaritma yang melibatkan fungsi trigonometri yaitu $\tan {\alpha }^{\circ }$.  Soal ini agaknya cukup rumit jika kita tidak memiliki kemampuan bernalar yang tinggi. Namun jika kita bersungguh-sungguh dalam mengerjakannya maka kita akan mudah menyelesaikan soal tersebut. Soalnya adalah

Nilai dari $$\log \tan 1^{\circ }+\log \tan 2^{\circ }+\log \tan 3^{\circ }+\cdots +\log \tan {89}^{\circ }$$ adalah .....

Penyelesaian

Kita ingat kembali konsep $\log a+\log b=\log (a+b)$. Sehingga

\begin{eqnarray*}
& = & \log\tan1^{\circ}+\log\tan2^{\circ}+\log\tan3^{\circ}+\cdots+\log\tan89^{\circ}\
& = & \log\left(\tan1^{\circ}\times\tan2^{\circ}\times\tan3^{\circ}\times\cdots\times\tan89^{\circ}\right)\
&=&\log\left(\tan1^{\circ}\times\tan89^{\circ}\times\tan2^{\circ}\times\tan88^{\circ}\times\tan3^{\circ}\times\tan87^{\circ}\times\cdots\times\tan45^{\circ}\right)\
&=&\log\left(\tan1^{\circ}\times\tan\left(90^{\circ}-1^{\circ}\right)\times\tan2^{\circ}\times\tan\left(90^{\circ}-2^{\circ}\right)\times\tan3^{\circ}\times\tan\left(90^{\circ}-3^{\circ}\right)\times\cdots\times\tan45^{\circ}\right)\
&=&\log\left(\left(\tan1^{\circ}\times\cot1^{\circ}\right)\times\left(\tan2^{\circ}\times\cot2^{\circ}\right)\times\left(\tan3^{\circ}\times\cot3^{\circ}\right)\times\cdots\times\tan45^{\circ}\right)\

& = & \log\left(1\times1\times1\times\cdots\times1\right)\
& = & \log1\
& = & 0
\end{eqnarray*}Ternyata kita mendapatkan hasil $\log \tan 1^{\circ }+\log \tan 2^{\circ }+\log \tan 3^{\circ }+\cdots +\log \tan {89}^{\circ }=0$