Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer
Beranda / Matematika / OSN

Pembahasan Soal OSN-K Matematika SMA 2025 (Kemampuan Dasar)

Oleh Bear Pinter Posting Komentar

Halo rekan-rekan guru dan para pejuang OSN! Seperti tahun-tahun sebelumnya, Olimpiade Sains Nasional (OSN) yang digelar oleh  Puspresnas selalu menjadi panggung yang paling dinanti untuk menguji ketajaman nalar siswa. Di ajang ini, anak-anak tidak cuma ditantang seberapa hafal mereka dengan materi pelajaran, tapi bagaimana mereka memecahkan masalah dengan kreatif dan tekun lewat seleksi yang ketat mulai dari tingkat kabupaten sampai nasional.


Dari sekian banyak cabang, Matematika bisa dibilang jadi salah satu yang paling menantang sekaligus bikin penasaran. Di tingkat Kabupaten/Kota (OSN-K), soal-soal yang muncul benar-benar menguji fondasi berpikir logis siswa. Jangan harap bisa lolos kalau cuma modal hafal rumus cepat; di sini butuh pemahaman konsep yang matang dan kecermatan tingkat tinggi.

Untuk OSN-K Matematika tahun 2025 ini, materi yang diujikan masih berputar di seputar aljabar, geometri, kombinatorika, dan teori bilangan. Soal-soalnya sengaja dirancang non-rutin agar siswa paham betul esensi dan logika di balik setiap langkah penyelesaian yang mereka ambil.

Nah, di artikel kali ini, saya ingin membagikan berkas soal sekaligus pembahasan lengkap untuk OSN-K Matematika 2025, khususnya pada bagian Kemampuan Dasar. Semua pembahasan sengaja dibuat runtut dan sejelas mungkin supaya nyaman dibaca oleh siswa yang sedang belajar mandiri, atau bisa juga dijadikan bahan referensi Bapak/Ibu guru dalam membimbing siswanya di sekolah. Semoga Coretan ini bisa membantu anak-anak kita tampil lebih percaya diri di ajang OSN mendatang.

Sebagai catatan tambahan, untuk bagian Kemampuan Dasar ini totalnya ada 10 soal isian singkat. Format jawabannya cukup ditulis angka akhirnya saja (harus berupa bilangan bulat). Sistem poinnya: jika benar mendapat 2 poin, salah 0 poin, dan kalau kosong atau tidak dijawab nilainya 0..

Berikut Pembahasan Soal OSN-K Matematika SMA 2025 (Kemampuan Dasar)

1. Banyaknya solusi persamaan $n^2 + 4n + 3 = 16m$ dengan $m,n$ bilangan asli dan $1 \le n \le 110$ adalah ....

Pembahasan: 

Persamaan tersebut dapat difaktorkan menjadi: \[ (n+1)(n+3) = 16m \] Karena $m$ bilangan asli, hasil kali $(n+1)(n+3)$ harus merupakan kelipatan 16. Selisih kedua faktor tersebut adalah: \[ (n+3) - (n+1) = 2 \] Karena selisihnya 2, $(n+1)$ dan $(n+3)$ memiliki paritas yang sama. Jika genap, hasil kalinya bisa kelipatan 16; jika ganjil, tidak mungkin. Maka, $n$ pasti bilangan ganjil. Misalkan $n = 2k - 1$ untuk suatu bilangan asli $k$. Substitusikan: \[ ((2k-1)+1)((2k-1)+3) = (2k)(2k+2) = 4k(k+1) \] Agar $4k(k+1)$ habis dibagi 16, $k(k+1)$ harus habis dibagi 4. Karena $k$ dan $(k+1)$ berurutan, salah satunya genap kelipatan 4. Artinya $k \equiv 0 \pmod 4$ atau $k \equiv 3 \pmod 4$. Batasan $n$: \[ 1 \le 2k-1 \le 110 \implies 2 \le 2k \le 111 \implies 1 \le k \le 55 \]  
  • Kasus 1: $k \equiv 0 \pmod 4$
    Nilai $k \in \{4, 8, 12, \dots, 52\}$. Banyaknya: $\dfrac{52}{4} = 13$. 
  • Kasus 2: $k \equiv 3 \pmod 4$
    Nilai $k \in \{3, 7, 11, \dots, 55\}$. Banyaknya: $\dfrac{55 - 3}{4} + 1 = 14$. 
Total solusi adalah $13 + 14 = 27$.

Jawaban: 27

2. Bilangan bulat positif terkecil $n$ sehingga $n!$ habis dibagi oleh 1430 adalah ....

Pembahasan:

Faktorisasi prima dari 1430:
    \[ 1430 = 10 \times 143 = 2 \times 5 \times 11 \times 13 \]Agar $n!$ habis dibagi 1430, penjabaran $n!$ harus memuat faktor $2, 5, 11$, dan $13$. Faktor prima terbesar adalah 13, maka nilai $n$ minimal agar $n!$ memuat 13 adalah $n = 13$. Karena $13!$ otomatis memuat faktor $2, 5,$ dan $11$, maka $13!$ pasti habis dibagi 1430.

Jawaban: 13

3. Diberikan trapesium siku-siku $ABCD$, seperti gambar di bawah ini. Misalkan $E$ titik pada $AD$ sehingga $BE = CE$. Jika $AB = 22$, $CD = 27$, dan $BC = 25\sqrt{2}$, maka panjang $AE$ adalah ....

Pembahasan:

Tarik garis tegak lurus dari $B$ ke $CD$, sebut titik potongnya $F$. Bangun $ABFD$ adalah persegi panjang.
\[ DF = AB = 22 \quad \text{dan} \quad FC = CD - DF = 27 - 22 = 5 \]Pada $\triangle BFC$ siku-siku di $F$, gunakan Teorema Pythagoras:\[ BF = \sqrt{BC^2 - FC^2} = \sqrt{(25\sqrt{2})^2 - 5^2} = \sqrt{1250 - 25} = \sqrt{1225} = 35 \]Sehingga panjang $AD = BF = 35$. Misalkan $AE = x$, maka $ED = 35 - x$.
  • Tinjau $\triangle ABE$: $BE^2 = 22^2 + x^2 = 484 + x^2$.
  • Tinjau $\triangle CDE$: $CE^2 = 27^2 + (35 - x)^2 = 729 + 1225 - 70x + x^2 = 1954 - 70x + x^2$.
Karena $BE = CE$, maka $BE^2 = CE^2$:
\begin{align*}484 + x^2 &= 1954 - 70x + x^2 \\70x &= 1470 \\x &= 21\end{align*}Jawaban: 21

4. Banyaknya himpunan bagian dari $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ yang memuat himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ atau $\{4, 5, 6\}$ adalah ....

Pembahasan
  • Misalkan $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
  • Misalkan $A$ himpunan bagian yang memuat $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Elemen sisa $\{6, 7\}$ bebas dipilih, sehingga $|A| = 2^2 = 4$.
  • Misalkan $B$ himpunan bagian yang memuat $\{4, 5, 6\}$. Elemen sisa $\{1, 2, 3, 7\}$ bebas dipilih, sehingga $|B| = 2^4 = 16$.
  • Irisan $A \cap B$ memuat $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Elemen sisa $\{7\}$ bebas dipilih, sehingga $|A \cap B| = 2^1 = 2$. Gunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi:\[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 4 + 16 - 2 = 18 \]
Jawaban: 18

5. Afif menuliskan sembilan bilangan bulat positif berbeda yang lebih kecil dari 18. Ia memastikan bahwa penjumlahan dua bilangan mana pun tidak pernah sama dengan 18. Bilangan positif yang pasti ditulis Afif adalah ....

Pembahasan:

Pasangkan bilangan ke dalam himpunan saling lepas yang jumlahnya 18: \[ \{1, 17\}, \{2, 16\}, \{3, 15\}, \{4, 14\}, \{5, 13\}, \{6, 12\}, \{7, 11\}, \{8, 10\} \]Terdapat 8 pasangan. Bilangan 9 tidak memiliki pasangan berbeda.

Afif maksimal memilih 1 angka dari tiap pasangan (maksimal 8 angka). Untuk menulis 9 angka tanpa melanggar syarat penjumlahan, berdasarkan Pigeonhole Principle, angka ke-9 haruslah angka yang tidak memiliki pasangan tersebut.

Jawaban: 9

6. Diketahui bahwa koefisien suku $x^2$ dari penjabaran $(x+3)^n$ adalah $81k$ untuk suatu bilangan asli $k$. Bilangan asli $k$ terkecil yang mungkin memenuhi syarat tersebut adalah ....
    
Pembahasan:

Bentuk umum suku dari $(x+3)^n$ adalah $\binom{n}{r} x^r 3^{n-r}$. Substitusi $r = 2$:\[ \text{Koefisien } x^2 = \binom{n}{2} 3^{n-2} = \frac{n(n-1)}{2} 3^{n-2} \]Diketahui koefisien ini adalah $81k = 3^4 k$, maka:\[ 3^4 k = \frac{n(n-1)}{2} 3^{n-2} \implies k = \frac{n(n-1) \cdot 3^{n-6}}{2} \]

Uji nilai $n$:
  • $n = 4 \implies k = \dfrac{12 \cdot 3^{-2}}{2} = \dfrac{2}{3}$ (Bukan bilangan asli)
  • $n = 5 \implies k = \dfrac{20 \cdot 3^{-1}}{2} = \dfrac{10}{3}$ (Bukan bilangan asli)
  • $n = 6 \implies k = \dfrac{30 \cdot 3^0}{2} = 15$ (Bilangan asli)
Untuk $n > 6$, nilai $k$ akan semakin membesar karena eksponen $3^{n-6}$ menjadi positif. Jadi, nilai $k$ terkecil tercapai saat $n = 6$.

Jawaban: 15

7. Diketahui dua segitiga sama sisi $ABD$ dan $BCE$ dengan panjang sisi yang sama dan ketiga titik $A, B, C$ terletak pada satu garis. Titik $P$ dan $Q$ masing-masing adalah titik pusat lingkaran luar segitiga $ABD$ dan titik pusat lingkaran luar segitiga $BCE$. Jika luas lingkaran luar segitiga $BCP$ adalah 126, maka luas lingkaran luar segitiga $BPQ$ adalah ....

Pembahasan :

Misalkan panjang sisi segitiga sama sisi tersebut adalah $s$. Karena $A, B, C$ segaris, maka:\[ \angle ABD = 60^\circ, \quad \angle CBE = 60^\circ \implies \angle DBE = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \]
    
Titik $P$ dan $Q$ adalah titik pusat lingkaran luar (yang juga merupakan titik berat pada segitiga sama sisi). Jarak dari titik sudut ke pusat lingkaran luar pada segitiga sama sisi dengan sisi $s$ adalah:\[ BP = BQ = \frac{s}{\sqrt{3}} \]
    
Garis $BP$ membagi $\angle ABD$ menjadi dua sama besar, sehingga $\angle PBD = 30^\circ$ dan $\angle ABP = 30^\circ$. Demikian pula, $BQ$ membagi $\angle CBE$ sehingga $\angle EBQ = 30^\circ$ dan $\angle CBQ = 30^\circ$.
    
Sekarang kita cari besar sudut-sudut penting:
  • $\angle PBC = \angle PBD + \angle DBE + \angle EBC = 30^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 150^\circ$
  • $\angle PBQ = \angle PBD + \angle DBE + \angle EBQ = 30^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 120^\circ$
Tinjau $\triangle BCP$:

Gunakan Aturan Kosinus untuk mencari panjang $PC$:\[ PC^2 = BP^2 + BC^2 - 2 \cdot BP \cdot BC \cdot \cos(150^\circ) \]\[ PC^2 = \frac{s^2}{3} + s^2 - 2 \cdot \frac{s}{\sqrt{3}} \cdot s \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{4s^2}{3} + s^2 = \frac{7s^2}{3} \]
    
Misalkan $R_1$ adalah jari-jari lingkaran luar $\triangle BCP$. Berdasarkan Aturan Sinus:\[ R_1 = \frac{PC}{2 \sin(150^\circ)} = \frac{PC}{2 \cdot \frac{1}{2}} = PC \implies R_1^2 = PC^2 = \frac{7s^2}{3} \]Diketahui luas lingkaran luar $\triangle BCP = \pi R_1^2 = \pi \frac{7s^2}{3} = 126 \implies \pi \frac{s^2}{3} = \frac{126}{7} = 18$.

Tinjau $\triangle BPQ$:

Karena $BP = BQ = \frac{s}{\sqrt{3}}$ dan $\angle PBQ = 120^\circ$, kita cari $PQ$ dengan Aturan Kosinus:\[ PQ^2 = BP^2 + BQ^2 - 2 \cdot BP \cdot BQ \cdot \cos(120^\circ) \]\[ PQ^2 = \frac{s^2}{3} + \frac{s^2}{3} - 2 \cdot \frac{s^2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3s^2}{3} = s^2 \implies PQ = s \]
    
Jika $R_2$ adalah jari-jari lingkaran luar $\triangle BPQ$, maka dengan Aturan Sinus:
\[ R_2 = \dfrac{PQ}{2 \sin(120^\circ)} = \dfrac{s}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{s}{\sqrt{3}} \implies R_2^2 = \frac{s^2}{3} \]

Luas lingkaran luar $\triangle BPQ$ adalah $\pi R_2^2 = \pi \dfrac{s^2}{3}$. Dari persamaan sebelumnya, kita tahu nilai dari $\pi \frac{s^2}{3} = 18$.

Jawaban: 18

8. Diberikan persegi panjang $ABCD$ dengan $AB = 68$ dan $AD = 27$. Misalkan $E, F$ titik pada sisi $AB$ dan $G, H$ titik pada sisi $CD$ sedemikian sehingga $AF = BE = CH = DG = 54$. Luas daerah diarsir berikut yang dibatasi keempat garis $AG, BH, CE, DF$ adalah ....

Pembahasan:

Mari gunakan sistem koordinat Kartesius untuk mempermudah perhitungan. Letakkan titik $A$ di $(0,0)$.
  • $A = (0,0)$,  $B = (68,0)$,   $C = (68,27)$,   $D = (0,27)$
  • Karena $AF = 54$, maka $F = (54,0)$.
  • Karena $BE = 54$, maka koordinat $E = (68 - 54, 0) = (14,0)$.
  • Karena $DG = 54$, maka $G = (54,27)$.
  • Karena $CH = 54$, maka koordinat $H = (68 - 54, 27) = (14,27)$.
Sekarang kita tentukan persamaan empat garis pembatas daerah arsiran:
  • Garis $AG$ melalui $(0,0)$ dan $(54,27) \implies y = \dfrac{27}{54}x = \dfrac{1}{2}x$
  • Garis $CE$ melalui $(14,0)$ dan $(68,27) \implies y - 0 = \dfrac{27}{54}(x - 14) \implies y = \dfrac{1}{2}x - 7$
  • Garis $DF$ melalui $(0,27)$ dan $(54,0) \implies y - 0 = \dfrac{-27}{54}(x - 54) \implies y = -\dfrac{1}{2}x + 27$
  • Garis $BH$ melalui $(68,0)$ dan $(14,27) \implies y - 0 = \dfrac{27}{-54}(x - 68) \implies y = -\dfrac{1}{2}x + 34$
Perhatikan bahwa $AG \parallel CE$ (gradien $\dfrac{1}{2}$) dan $DF \parallel BH$ (gradien $-\dfrac{1}{2}$). Daerah arsiran berbentuk jajaran genjang (lebih spesifiknya, belah ketupat karena sifat simetri). Mari cari titik-titik potongnya:
  • Titik Kiri ($I$) dari perpotongan $AG$ dan $DF$:\[ \frac{1}{2}x = -\frac{1}{2}x + 27 \implies x = 27 \implies y = 13.5 \implies I = (27, \, 13.5) \]
  • Titik Atas ($J$) dari perpotongan $AG$ dan $BH$:\[ \frac{1}{2}x = -\frac{1}{2}x + 34 \implies x = 34 \implies y = 17 \implies J = (34, \, 17) \]
  • Titik Kanan ($K$) dari perpotongan $CE$ dan $BH$:\[ \frac{1}{2}x - 7 = -\frac{1}{2}x + 34 \implies x = 41 \implies y = 13.5 \implies K = (41, \, 13.5) \]
  • Titik Bawah ($L$) dari perpotongan $CE$ dan $DF$: \[ \frac{1}{2}x - 7 = -\frac{1}{2}x + 27 \implies x = 34 \implies y = 10 \implies L = (34, \, 10) \]
Karena diagonal-diagonal belah ketupat ini saling tegak lurus (horizontal dan vertikal):
  • Jarak horizontal ($d_1$) dari $I$ ke $K$: $41 - 27 = 14$
  • Jarak vertikal ($d_2$) dari $L$ ke $J$: $17 - 10 = 7$\[ \text{Luas daerah arsiran} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49 \]Jawaban: 49
Alternatif Jawaban (menggunakan Kesebangunan)

Pertama, mari kita tentukan panjang potongan segmen pada sisi alas $AB$ dan sisi atas $CD$: 
  • $AE = AB - BE = 68 - 54 = 14$ 
  • $FB = AB - AF = 68 - 54 = 14$
  • $EF = AB - AE - FB = 68 - 14 - 14 = 40$
Dengan cara yang sama pada sisi atas $CD$, karena sifat simetri maka diperoleh $DH = 14$, $GC = 14$, dan $HG = 40$. 

Misalkan jajaran genjang (belah ketupat) daerah arsiran memiliki empat titik sudut: 
  • Titik $J$ (perpotongan atas antara garis $AG$ dan $BH$) 
  • Titik $L$ (perpotongan bawah antara garis $CE$ dan $DF$)
  • Titik $I$ (perpotongan kiri antara garis $AG$ dan $DF$) 
  • Titik $K$ (perpotongan kanan antara garis $CE$ dan $BH$) 
1. Menentukan Tinggi Vertikal Titik $J$ dan $L$ via Kesebangunan

Perhatikan $\triangle JHG$ dan $\triangle JAB$. Karena garis $HG \parallel AB$, maka $\triangle JHG \sim \triangle JAB$ (sebangun). 

Perbandingan alas kedua segitiga tersebut adalah: \[ \frac{HG}{AB} = \frac{40}{68} = \frac{10}{17} \] Karena total tinggi persegi panjang ($AD$) adalah 27, maka tinggi titik $J$ dari alas $AB$ adalah: \[ t_J = \frac{17}{10 + 17} \times 27 = \frac{17}{27} \times 27 = 17 \] Perhatikan $\triangle LDC$ dan $\triangle LFE$. Karena garis $DC \parallel EF$, maka $\triangle LDC \sim \triangle LFE$ (sebangun). Perbandingan alasnya adalah: \[ \frac{DC}{EF} = \frac{68}{40} = \frac{17}{10} \] Maka, tinggi titik $L$ dari alas $AB$ adalah: \[ t_L = \frac{10}{17 + 10} \times 27 = \frac{10}{27} \times 27 = 10 \] Sehingga, panjang diagonal vertikal belah ketupat ($d_2$) adalah: \[ d_2 = t_J - t_L = 17 - 10 = 7 \] 2. Menentukan Lebar Horizontal Titik $I$ dan $K$ via Kekongruenan

Tarik garis vertikal bayangan dari titik $F(54,0)$ tegak lurus ke sisi $CD$ di titik $G(54,27)$. Sisi vertikal ini memiliki panjang $GF = 27$. Perhatikan bahwa $AD \parallel GF$ dan panjang $AD = GF = 27$. 

Titik $I$ adalah perpotongan garis silang $AG$ dan $DF$. Karena kedua tiang vertikalnya sama panjang, maka $\triangle IAD \cong \triangle IGF$ (kongruen dengan rasio $1:1$).

Ini berarti titik $I$ berada tepat di tengah-tengah jarak horizontal antara garis $AD$ ($x=0$) dan garis $GF$ ($x=54$): \[ x_I = \frac{0 + 54}{2} = 27 \]Dengan prinsip simetri cermin yang sama di sisi kanan, titik $K$ adalah pusat simetri antara garis vertikal berjarak $14$ dari kiri (garis $HE$) dan garis $BC$ berjarak $68$ dari kiri. Maka posisi horizontal titik $K$ adalah: \[ x_K = \frac{14 + 68}{2} = 41 \]Sehingga, panjang diagonal horizontal belah ketupat ($d_1$) adalah: \[ d_1 = x_K - x_I = 41 - 27 = 14 \] 3. Menghitung Luas Daerah Arsiran \[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49 \] Jawaban: 49


9. Suatu polinomial $P(x)$ memenuhi persamaan $P(5^b + 1) = 5^{5b} + 4$ untuk setiap bilangan bulat positif $b$. Nilai $P(3) = ....$

Pembahasan:

Misalkan kita lakukan substitusi variabel untuk mencari bentuk umum fungsi $P(x)$.  Misalkan:\[ x = 5^b + 1 \implies 5^b = x - 1 \]
Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan polinomial yang diketahui:\[ P(5^b + 1) = (5^b)^5 + 4 \]\[ P(x) = (x - 1)^5 + 4 \]
    
Karena persamaan ini berlaku untuk setiap bilangan bulat positif $b$, maka identitas polinomial $P(x) = (x - 1)^5 + 4$ berlaku secara umum untuk nilai $x$ apa saja.

Sekarang, kita tinggal menghitung nilai dari $P(3)$:
\[ P(3) = (3 - 1)^5 + 4 \]\[ P(3) = 2^5 + 4 \]\[ P(3) = 32 + 4 = 36 \]
Jawaban: 36

10. Banyaknya bilangan bulat $m$ sehingga persamaan kuadrat $x^2 + mx + 37 = m$ tidak mempunyai akar real adalah ....

Pembahasan:

Pindahkan semua suku ke ruas kiri untuk membentuk persamaan kuadrat standar $ax^2 + bx + c = 0$:\[ x^2 + mx + (37 - m) = 0 \]

Dari persamaan di atas, diperoleh koefisien: $a = 1$, $b = m$, dan $c = 37 - m$.

Syarat agar suatu persamaan kuadrat tidak memiliki akar real adalah nilai Diskriminannya harus kurang dari nol ($D < 0$):
\[ D = b^2 - 4ac < 0 \]\[ m^2 - 4(1)(37 - m) < 0 \]\[ m^2 - 148 + 4m < 0 \]\[ m^2 + 4m - 148 < 0 \]
    
Mencari batas-batas nilai $m$ menggunakan rumus kuadratis (rumus ABC) pada persamaan $m^2 + 4m - 148 = 0$:\[ m = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-148)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 592}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{608}}{2} \]\[ m = \frac{-4 \pm 4\sqrt{38}}{2} = -2 \pm \sqrt{152} \]
    
Kita ketahui bahwa $12^2 = 144$ dan $13^2 = 169$, sehingga nilai $\sqrt{152} \approx 12.33$.

Maka batas nilai $m$ adalah: \[ -2 - 12.33 < m < -2 + 12.33 \] \[ -14.33 < m < 10.33 \]
    
Karena $m$ harus berupa bilangan bulat, maka nilai $m$ yang memenuhi berada pada himpunan:
\[ m \in \{-14, -13, -12, \dots, 9, 10\} \]
Banyaknya bilangan bulat $m$ tersebut adalah:
\[ \text{Banyaknya } m = 10 - (-14) + 1 = 25 \]

Jawaban: 25

Posting Komentar untuk "Pembahasan Soal OSN-K Matematika SMA 2025 (Kemampuan Dasar)"