Soal SNMPTN 2011 Tentang Kerucut Terbalik

Berikut ini saya berikan postingan soal SNMPTN 2011 tentang kerucut terbalik. Semoga postingan ini bisa bermanfaat untuk kita sekalian.  Soal ini juga pernah muncul di ujian nasional dan olimpiade matematika tingkat SMK. Soal ini juga membutuhkan keahlian tentang aturan turunan.

Soal

Bola dengan diameter $8$ cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah$\dots$

Penyelesaian: 

Perhatikan gambar berikut :

Dari kerucut terbalik diatas kita lihat bahwa tinggi kerucut adalah $AB$. Kita misalkan $AD=x$ sehingga $AB=t=x+4$. Misalkan juga $BC=r$. Sekarang kita cari panjang $AE$. $$\begin{array}{rcl}AE& =& \sqrt{A{D}^2-D{E}^2}\\ AE& =& \sqrt{x^2-16}\end{array}$$ Sekarang kita perhatikan bahwa $△ADE$ sebangun dengan $△ABC$. Sehingga kita mendapatkan hubungan $$\begin{array}{rcl}\frac{AE}{DE}& =& \frac{AB}{BC}\\ \frac{\sqrt{x^2-16}}{4}& =& \frac{x+4}{BC}\\ BC& =& \frac{4x+16}{\sqrt{x^2-16}}\\ r& =& \frac{4x+16}{\sqrt{x^2-16}}\end{array}$$ Kita tahu bahwa Rumus umum Volume kerucut adalah $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot t$. Sehingga kita dapatkan 
$$\begin{array}{rcl}V& =& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot t\\ & =& \frac{1}{3}\cdot \pi {\left(\frac{4x+16}{\sqrt{x^2-16}}\right)}^2\cdot (x+4)\\ & =& \frac{1}{3}\cdot \pi \left(\frac{(4x+16{)}^2(x+4)}{(x^2-16)}\right)\\ & =& \frac{1}{3}\cdot \pi \left(\frac{4^2(x+4{)}^2(x+4)}{(x-4)(x+4)}\right)\\ V& =& \frac{16}{3}\pi \left(\frac{(x+4{)}^2}{(x-4)}\right)\end{array}$$Kemudian kita mencari turunan pertama dari fungsi diatas yaitu: $$\begin{array}{rcl}V& =& \frac{16}{3}\pi \left(\frac{(x+4{)}^2}{(x-4)}\right)\\ V^{\prime }& =& \frac{16}{3}\pi \left(\frac{2(x+4)(x-4)-(x+4{)}^2}{(x-4{)}^2}\right)\\ & =& \frac{16}{3}\pi \left(\frac{2x^2-32-(x^2+8x+16)}{(x-4{)}^2}\right)\\ & =& \frac{16}{3}\pi \left(\frac{x^2-8x-48}{(x-4{)}^2}\right)\end{array}$$ Agar volume yang diperoleh minimum, maka haruslah $V^{\prime }=0$ sehingga $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{16}{3}}\pi \left({\displaystyle \frac{x^2-8x-48}{(x-4{)}^2}}\right)& =& 0\\ x^2-8x-48& =& 0\\ (x-12)(x+4)& =& 0\\ x=12\text{atau}x& =& -4\end{array}$$

Untuk $x=-4\Rightarrow AB=t=x+4\Rightarrow AB=0$ (Tidak Mungkin tingginya $0$).

Untuk $x=12\Rightarrow AB=t=12+4\Rightarrow AB=16$. atau dengan kata lain bahwa tinggi kerucut tersebut dengan volume terkecil yang mungkin adalah $t=16$ cm

 Selesai.....