Teorema Sisa Cina

Pada kesempatan kali ini saya akan membuat postingan tentang teorema sisa cina. Apa itu ?? Teorema sisa cina atau biasa di kenal dengan istilah Chinese Remainder Theorem (CRT) Adalah suatu teorema penting dalam teori bilangan yang bisa di gunakan dalam pemecahan masalah olimpiade matematika bidang teori bilangan. Penjelasan Teorema tersebut bisa di lihat penjelasan dibawah.

Teorema Sisa Cina

Misalkan $n_1,n_2,\dots n_r$ bilangan bulat positif sehingga gcd$(n_i,n_j)=1$ untuk $i\ne j$. Maka sistem kongruensi linier satu variabel berikut

$$\begin{array}{rcl}x& \equiv & a_1\text{(mod }{n}_1)\\ x& \equiv & a_2\text{(mod }{n}_2)\\ & ⋮\\ x& \equiv & a_r\text{(mod }{n}_r)\end{array}$$
Untuk pembuktiannya silahkan anda lihat dalam buku teks teori bilangan.

Baca : Bukti dan Penerapan Teorema Sisa Cina

Sekarang pasti teman-teman bertanya-tanya untuk apa teorema itu dan apa aplikasinya dalam teori bilangan terutama dalam matematika. Menjawab pertanyaan tersebut lihatlah contoh berikut. Mudah-mudahan bisa menjawabnya.

Penerapan Teorema Sisa Cina

Kami adalah keluarga bilangan bulat postitif. Jika kami dibagi 6 memberikan sisa 5, dibagi 11 memberikan sisa 4 dan dibagi 17 memberikan sisa 3.

1. Tentukan bentuk umum kami

2. Tentukan tiga anggota terkecil dari kami.

Penyelesaian :

Menjawab soal diatas sebenarnya dapat dilakukan dengan cara coba-coba. Tetapi berapa kali kita harus mencoba ? Jalan lain adalah dengan menggunakan Teorema Sisa Cina diatas. Perhatikan langkah-langkahnya berikut:

Misalkan kami adalah $x$ $$\begin{array}{rcl}x& \equiv & 5(\text{mod 6)}\\ x& \equiv & 4\text{(mod 11)}\\ x& \equiv & 3(\text{mod 17)}\end{array}$$ Dengan menggunakan teorema sisa Cina kita mendapatkan$$\begin{array}{rcl}n& =& 6\cdot 11\cdot 17\\ & =& 1122\end{array}$$$$\begin{array}{rcl}{N}_1& =& \frac{n}{6}=\frac{1122}{6}=187\\ N_2& =& \frac{n}{11}=\frac{1122}{11}=102\\ N_3& =& \frac{n}{17}=\frac{1122}{17}=66\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}187x& \equiv & 1\text{(mod 6)}\Rightarrow x_1=1\\ 102x& \equiv & 1\text{(mod 11)}\Rightarrow x_2=4\\ 66x& \equiv & 1(\text{mod 17)}\Rightarrow x_3=8\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}x& =& 5\cdot 187\cdot 1+4\cdot 102\cdot 4+3\cdot 66\cdot 8\\ & =& 935+1632+1584\\ & =& 4151\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}x& \equiv & 4151\text{ (mod 1122)}\\ x& \equiv & 785\text{ (mod 1122)}\end{array}$$1. Bentuk umumnya adalah $x\equiv 785\text{ (mod 1122) }$atau $x=785+1122t$ dengan $t=0,1,2,\dots$

2. Tiga anggota terkecil dari kami adalah

a. $x=785+0=785$
b. $x=785+1122=1907$

c. $x=785+1122(2)=785+2244=3029$

 Sekian yah........

Baca Artikel kami di Bukti dan Penerapan Teorema Sisa Cina

Baca Juga :

• Menyelesaikan Persamaan kongruen linier dengan Teorema Sisa Cina
• Bilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika
• Pembahasan Bocoran UN Tahun 2019 Matematika SMA Program IPA Lengkap Format PDF
• Siap Menghadapi UN ? Ini dia Soal UN Matematika SMK 2017
• Pembahasan Bocoran UN Tahun 2019 Matematika SMA Program IPA