Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (Lanjutan)

Berikut beberapa contoh penggunaan Ketaksamaan CS Engel yang sudah kita bahas pada postingan sebelumnya.

1.  Misalkan a dan b bilangan real positif, Buktikan bahwa $8(a^{4}+b^{4})\geq(a+b)^{4}$

Solusi :

Dengan menerapkan CS Engel dua kali kita mendapatkan
$$a^{4}+b^{4}=\frac{a^{4}}{1}+\frac{b^{4}}{1}\geq\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{1+1}\geq\frac{\left(\frac{\left(a+b\right)^{2}}{2}\right)^{2}}{2}=\frac{(a+b)^{4}}{8}$$

2.  Tunjukkan untuk setiap bilangan real positif $a,b,c,d$ berlaku
$$(a+b+c+d)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right)\geq 64$$

(South Africa, 1995)

Solusi :

Bentuk $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right)$ dapat kita tulis menjadi $\left(\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right)$. Sehingga
\begin{eqnarray*} \left(\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right) &\geq & \frac{(1+1+2+4)^2}{a+b+c+d}\\ &\geq &\frac{8^2}{a+b+c+d}\\ & \geq & \frac{64}{(a+b+c+d)}
\end{eqnarray*}Seperti yang kita harapkan.

Sekarang kita mencoba contoh soal yang lebih kompleks.

3.  Misalkan $x,y,z>0$. Buktikan
$$\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x} \geq \frac{9}{x+y+z}$$

Solusi :
\begin{eqnarray*} \frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x} &\geq & \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2})^2}{z+y+y+z+z+x}\\ & \geq & \frac{(3\sqrt{2})^2}{2(x+y+y)}\\ & \geq & \frac{18}{2(x+y+z)}\\ & \geq & \frac{9}{x+y+z}
\end{eqnarray*}

Tampaknya untuk tiga contoh soal diatas kita tidak mengalami kendala yang berarti. Oleh karena itu sekarang saya akan mengajak untuk mencoba memecahkan soal olimpiade berikut.

4.  Misalkan $a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots b_n$ adalah bilangan-bilangan real positif sehingga $a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n$. Tunjukkan bahwa
$$\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{a_n+b_n}\geq \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{2}$$

(APMO 1991)

Solusi :

Dengan memanfaatkan Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel  kita dapatkan
\begin{eqnarray*} \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{a_n+b_n} & \geq & \frac{(a_1+a_2+\cdots a_n)^2}{a_1+a_2+\cdots +a_n+b_1+\cdots +b_n}\\ \end{eqnarray*}
Karena $a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n$ maka diperoleh
\begin{eqnarray*} \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{a_n+b_n} & \geq & \frac{(a_1+a_2+\cdots a_n)^2}{2(a_1+a_2+\cdots a_n)}\\ & \geq & \frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots a_n)
\end{eqnarray*}

5. Jika $a,b,c$ adalah bilangan real positif. Buktikan berlaku
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$$

(Ketaksamaan Nesbitt's)

Solusi :

\begin{eqnarray*} \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} & = & \frac{a^{2}}{(ab+ac)}+\frac{b^{2}}{(bc+ab)}+\frac{c^{2}}{(ac+cb)}\\ \frac{a^{2}}{(ab+ac)}+\frac{b^{2}}{(bc+ab)}+\frac{c^{2}}{(ac+cb)} & \geq & \frac{\left(a+b+c\right)^{2}}{2(ab+ac+bc)}
\end{eqnarray*}
Kita tahu bahwa $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geq0$ maka $\left(a+b+c\right)^{2}\geq3(ab+bc+ca)$ sehingga
\begin{eqnarray*} \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} & \geq & \frac{3(ab+ac+bc)}{2(ab+ac+bc)}\\ & \geq & \frac{3}{2}
\end{eqnarray*}Untuk lebih lengkapnya dapat anda lihat pada paper sederhana yang dapat anda download di blog ini

Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel

Baca Juga : Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel