Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (Lanjutan)

Berikut beberapa contoh penggunaan Ketaksamaan CS Engel yang sudah kita bahas pada postingan sebelumnya.

1.  Misalkan a dan b bilangan real positif, Buktikan bahwa $8(a^4+b^4)\ge (a+b{)}^4$

Solusi :

Dengan menerapkan CS Engel dua kali kita mendapatkan
$$a^4+b^4=\frac{a^4}{1}+\frac{b^4}{1}\ge \frac{(a^2+b^2{)}^2}{1+1}\ge \frac{{\left(\frac{{(a+b)}^2}{2}\right)}^2}{2}=\frac{(a+b{)}^4}{8}$$

2.  Tunjukkan untuk setiap bilangan real positif $a,b,c,d$ berlaku
$$(a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d})\ge 64$$

(South Africa, 1995)

Solusi :

Bentuk $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d})$ dapat kita tulis menjadi $(\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d})$. Sehingga
$$\begin{array}{rcl}(\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d})& \ge & \frac{(1+1+2+4{)}^2}{a+b+c+d}\\ & \ge & \frac{8^2}{a+b+c+d}\\ & \ge & \frac{64}{(a+b+c+d)}\end{array}$$Seperti yang kita harapkan.

Sekarang kita mencoba contoh soal yang lebih kompleks.

3.  Misalkan $x,y,z>0$. Buktikan
$$\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\ge \frac{9}{x+y+z}$$

Solusi :
$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}& \ge & \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}{)}^2}{z+y+y+z+z+x}\\ & \ge & \frac{(3\sqrt{2}{)}^2}{2(x+y+y)}\\ & \ge & \frac{18}{2(x+y+z)}\\ & \ge & \frac{9}{x+y+z}\end{array}$$

Tampaknya untuk tiga contoh soal diatas kita tidak mengalami kendala yang berarti. Oleh karena itu sekarang saya akan mengajak untuk mencoba memecahkan soal olimpiade berikut.

4.  Misalkan $a_1,a_2,\cdots ,a_n,b_1,b_2,\cdots b_n$ adalah bilangan-bilangan real positif sehingga $a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$. Tunjukkan bahwa
$$\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{a_n+b_n}\ge \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{2}$$

(APMO 1991)

Solusi :

Dengan memanfaatkan Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel  kita dapatkan
$$\begin{array}{rcl}\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{a_n+b_n}& \ge & \frac{(a_1+a_2+\cdots a_n{)}^2}{a_1+a_2+\cdots +a_n+b_1+\cdots +b_n}\end{array}$$

Karena $a_1+a_2+\cdots +a_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$ maka diperoleh
$$\begin{array}{rcl}\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{a_n+b_n}& \ge & \frac{(a_1+a_2+\cdots a_n{)}^2}{2(a_1+a_2+\cdots a_n)}\\ & \ge & \frac{1}{2}(a_1+a_2+\cdots a_n)\end{array}$$

5. Jika $a,b,c$ adalah bilangan real positif. Buktikan berlaku
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$$

(Ketaksamaan Nesbitt's)

Solusi :

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}& =& \frac{a^2}{(ab+ac)}+\frac{b^2}{(bc+ab)}+\frac{c^2}{(ac+cb)}\\ \frac{a^2}{(ab+ac)}+\frac{b^2}{(bc+ab)}+\frac{c^2}{(ac+cb)}& \ge & \frac{{(a+b+c)}^2}{2(ab+ac+bc)}\end{array}$$
Kita tahu bahwa $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge 0$ maka ${(a+b+c)}^2\ge 3(ab+bc+ca)$ sehingga
$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}& \ge & \frac{3(ab+ac+bc)}{2(ab+ac+bc)}\\ & \ge & \frac{3}{2}\end{array}$$Untuk lebih lengkapnya dapat anda lihat pada paper sederhana yang dapat anda download di blog ini

Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel

Baca Juga : Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel