Teorema Sisa

Pada kesempatan kali ini saya akan mencoba membahas teorema sisa. Materi ini dapat anda temukan di kelas XI materi suku banyak. Materi teorema sisa ini sangat penting dalam memecahkan soal-soal dalam tingkatan UAN, SNMPTN maupun Olimpiade. Bersama dengan teorema faktor, Teorema sisa harus kita miliki dan harus benar-benar kita kuasai.

Berikut saya sajikan bunyi teorema sisa

1. Suku banyak berderajat $n$ habis dibagi $(x-a)$, maka sisanya adalah $0$
2. Suku banyak berderajat $n$ dibagi $(x-a)$, maka sisanya adalah $f(a)$
3. Suku banyak berderajat $n$ dibagi $(ax-b)$, maka sisanya adalah $f\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)$

Nah bunyinya sangat sederhana kan. Jika yang ditanya adalah sisanya maka cukup menggunakan teorema sisa saja. Tetapi jika yang ditanya sisa dengan hasil bagi maka anda harus menggunakan metode Horner untuk menyelesaikannya.

Ada lagi teorema dalam suku banyak yaitu Teorema Faktor. Teorema faktor juga sangat penting dalam menyelesaikan soal-soal matematika bentuk polinomial. Terkadang banyak soal yang menanyakan tentang faktor dari fungsinya. Akan tetapi saat ini saya akan mencoba membahas teorema sisa saja. Untuk teorema faktor nanti lain kali kita bahas.

Contoh soal:

1.  Tentukan sisa pembagian dari $x^6+x^5-3x^3+2x^2-7=0$ oleh $(x-1)$

Penyelesaian:

Dengan menggunakan teorema sisa kita dapat memecahkan soal diatas dengan mudah.

$$\begin{array}{rl}f(x)=& x^6+x^5-3x^3+2x^2-7\\ f(1)=& 1^6+1^5-3(1{)}^3+2(1{)}^2-7\\ =& 1+1-3+2-7\\ =& -6\end{array}$$

2.  Sisa dari pembagian

$(3x-10{)}^{10}+(-4x+13{)}^{13}+(5x-16{)}^{16}+(ax+b{)}^{19}$ oleh $x-3$ adalah $3$. Nilai $a$ dan $b$ yang mungkin adalah .... (SIMAK UI 2012)

Penyelesaian :

Misalkan

$P(x)=(3x-10{)}^{10}+(-4x+13{)}^{13}+(5x-16{)}^{16}+(ax+b{)}^{19}$. Dengan teorema sisa kita dapatkan:$$\begin{array}{rl}P(x)=& (3x-10{)}^{10}+(-4x+13{)}^{13}+(5x-16{)}^{16}+(ax+b{)}^{19}\\ P(3)=& (3(3)-10{)}^{10}+(-4(3)+13{)}^{13}+(5(3)-16{)}^{16}+(ax+b{)}^{19}\\ 3=& (9-10{)}^{10}+(-12+13{)}^{13}+(15-16{)}^{16}+(3a+b{)}^{19}\\ 3=& 1+1+1+(3a+b{)}^{19}\\ (3a+b{)}^{19}=& 0\end{array}$$

Karena $(3a+b{)}^{19}=0$ Equivalent dengan $3a+b=0$ sehingga $b=-3a$. Jadi nilai $a$ dan $b$ yang mungkin adalah $a=3,b=-1$ dan $a=1,b=-3$