Membahas Soal-Soal Fungsi Komposisi Dan Invers Fungsi

Kemarin saya sudah memberikan postingan tentang pembahasan suku banyak dengan format PDF. Nah kali ini saya kembali akan memberikan postingan seperti kemarin tapi dengan materi yang berbeda yakni fungsi komposisi dan fungsi invers. Postingan saya bagi menjadi beberapa bagian masing-masing postingan berisi 7 sampai 10 soal. Karena kalau banyak soal nantinya pengunjung akan merasa tidak nyaman karena postingan terlalu panjang. Nah Kali ini saya mencoba untuk membuat lebih sederhana.

Perlu diketahui, materi fungsi komposisi dan invers fungsi cukup rumit bagi siswa SMA tentunya. Karena disitu ada materi fungsi yang cukup abstrak. Materi fungsi jika diteliti lebih jauh tidak akan ada habisnya. Namun kita hanya akan belajar fungsi yang umum dipelajari di tingkatan SMA.

Saya disini belum menyertakan pembahasan dalam bentuk PDF mengingat masih dalam proses pengetikan. Jika sudah selesai saya ketik maka akan langsung saya share. Yah hitung-hitung mencicil tulisan tersebut setiap selesai 10 nomor akan langsung saya share. Terakhir akan saya share bentuk PDF. Harap bersabar saja. Postingan ini juga tidak jauh beda dengan PDF yang akan saya share nanti. OK langsung saja kita mainkan. Pembahasan ada di dalam spoiler ya ... Klik saja spoilernya maka jawabannya akan langsung muncul

1. Jika $f\left(x\right)=p^x$, $p$ konstanta positif, maka ${\displaystyle \frac{f(x^2+x)}{f(x+1)}}=\cdots \cdots$

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& p^x\\ f(x^2+x)& =& p^{x^2+x}\\ f(x+1)& =& p^{x+1}\\ {\displaystyle \frac{f(x^2+x)}{f(x+1)}}& =& \frac{p^{x^2+x}}{p^{x+1}}\\ & =& \frac{p^{x^2}\cdot p^x}{p^x\cdot p}\\ & =& \frac{p^{x^2}}{p}\\ & =& p^{x^2}\cdot p^{-1}\\ {\displaystyle \frac{f(x^2+x)}{f(x+1)}}& =& p^{(x^2-1)}\end{array}$$ Perhatikan pada ruas kanan menghasilkan $p^{(x^2-1)}$. Karena $f\left(x\right)=p^x$ maka ${\displaystyle \frac{f(x^2+x)}{f(x+1)}}=f(x^2-1)$

2. Fungsi $f\left(x\right)=\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{16-x^2}}}$ terdefenisi untuk ......

Jawaban

Fungsi $f\left(x\right)=\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{16-x^2}}}$ terdefenisi jika ${\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{16-x^2}}\ge 0$. Perhatikan pada bagian pembilang yaitu $x^2-2x+1=0$ dapat difaktorkan menjadi ${(x-1)}^2$. Karena fungsi kuadrat selalu bernilai positif, maka kita hanya perlu meninjau penyebutnya yaitu $16-x^2>0$. Perlu diketahui juga bahwa ${\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{16-x^2}}$ tidak boleh bernilai negatif karena akar dari bilangan negatif akan menghasilkan bilangan imajiner. Kembali pada
$$\begin{array}{rcl}16-x^2& >& 0\\ (4-x)(4+x)& >& 0\end{array}$$ Dengan menguji pada garis bilangan, kita mendapatkan batas-batas nilai $x$ yaitu $(-4,4)$

3. Jika fungsi $f$ di defenisikan sebagai $f\left(x\right)=2^x$ maka nilai ${\left[{\displaystyle \frac{f(x+3)}{f(x-1)}}\right]}^2=$......

Jawaban

Diketahui : $f\left(x\right)=2^x$ , $f(x+3)=2^{x+3}$ dan $f(x-1)=2^{x-1}$.
$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{f(x+3)}{f(x-1)}}& =& \frac{2^{x+3}}{2^{x-1}}\\ {\left[{\displaystyle \frac{f(x+3)}{f(x-1)}}\right]}^2& =& {\left[\frac{2^{x+3}}{2^{x-1}}\right]}^2\\ & =& \frac{2^{2x+6}}{2^{2x-2}}\\ & =& \frac{2^{2x}\cdot 2^6}{2^{2x}\cdot {\left(2\right)}^{-2}}\\ & =& \frac{2^6}{2^{-2}}\\ & =& 2^6\cdot 2^2\\ & =& 64\times 4\\ {\left[{\displaystyle \frac{f(x+3)}{f(x-1)}}\right]}^2& =& 256\end{array}$$
4. Jika $f\left(x\right)=-x+3$ maka $f\left(x^2\right)+f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)=$......

Jawaban

$f\left(x\right)=-x+3$
$f\left(x^2\right)=-x^2+3$
$f^2\left(x\right)=(-x+3)(-x+3)=x^2-6x+9$
$2f\left(x\right)=-2x+6$
$$\begin{array}{rcl}f\left(x^2\right)+f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)& =& -x^2+3+x^2-6x+9-(-2x+6)\\ & =& -6x+12+2x-6\\ & =& -4x+6\end{array}$$
5. Diketahui $f(x+1)=x^2-1$ dan $g\left(x\right)=2x$ maka $(g\circ f)\left(x\right)=$......

Jawaban

$f(x+1)=x^2-1$ misalkan $t=x+1\to x=t-1$ sehingga
$$\begin{array}{rcl}f\left(t\right)& =& {(t-1)}^2-1\\ & =& t^2-2t+1-1\\ f\left(t\right)& =& t^2-2t\\ f\left(x\right)& =& x^2-2x\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}(g\circ f)\left(x\right)& =& g\left(f\left(x\right)\right)\\ & =& 2(x^2-2x)\\ & =& 2x^2-4x\end{array}$$
6. Jika $f\left(x\right)=x^3+2$ dan $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x-1}}:x\ne 1$ maka $(g\circ f)\left(x\right)$ adalah .....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}(g\circ f)\left(x\right)& =& g\left(f\left(x\right)\right)\\ & =& \frac{2}{x^3+2-1}\\ (g\circ f)\left(x\right)& =& \frac{2}{x^3+1}\end{array}$$
7. Jika $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2-4}}$ dan $g\left(x\right)=\sqrt{2x}$ maka $(f\circ g)\left(x\right)$ adalah .....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}(f\circ g)\left(x\right)& =& f\left(g\left(x\right)\right)\\ & =& \frac{2\left(\sqrt{2x}\right)}{{\left(\sqrt{2x}\right)}^2-4}\\ & =& \frac{2\sqrt{2x}}{2x-4}\\ & =& \frac{2\sqrt{2x}}{2(x-2)}\\ (f\circ g)\left(x\right)& =& \frac{\sqrt{2x}}{x-2}\end{array}$$
8. Jika $f\left(x\right)=-4x$ dan $f\left(g\left(x\right)\right)=-\frac{x}{2}+1$ maka $g\left(x\right)=$......

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}f\left(g\left(x\right)\right)& =& -\frac{x}{2}+1\\ -4\left(g\left(x\right)\right)& =& -\frac{x}{2}+1\\ g\left(x\right)& =& \frac{-\frac{x}{2}+1}{-4}\\ & =& \frac{-\frac{x+2}{2}}{-4}\\ & =& \frac{-x+2}{2}\times \frac{1}{-4}\\ & =& -\frac{1}{8}(-x+2)\\ g\left(x\right)& =& \frac{1}{8}(x-2)\end{array}$$
9. Diketahui $(f\circ g)\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-3}{x+4}}:x\ne -4$ dan $g\left(x\right)=(1-x)$. Maka $f\left(x\right)$ adalah ....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}(f\circ g)\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{2x-3}{x+4}}\\ f\left(g\left(x\right)\right)& =& {\displaystyle \frac{2x-3}{x+4}}\\ f(1-x)& =& {\displaystyle \frac{2x-3}{x+4}}\end{array}$$ Misalkan $u=1-x$ maka $x=1-u$ sehingga
$$\begin{array}{rcl}f\left(u\right)& =& \frac{2(1-u)-3}{(1-u)+4}\\ & =& \frac{2-2u-3}{5-u}\\ f\left(u\right)& =& \frac{-2u-1}{5-u}\\ f\left(x\right)& =& \frac{-2x-1}{5-x}\end{array}$$
10. Fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dinyatakan oleh $f\left(x\right)=x+2$ dan $(g\circ f)\left(x\right)=2x^2+4x+1$ maka $g\left(2x\right)=$......

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}(g\circ f)\left(x\right)& =& 2x^2+4x+1\\ g\left(f\left(x\right)\right)& =& 2x^2+4x+1\\ g(x+2)& =& 2x^2+4x+1\end{array}$$ Misalkan $x+2=y$ maka $x=y-2$ sehingga
$$\begin{array}{rcl}g\left(y\right)& =& 2{(y-2)}^2+4(y-2)+1\\ & =& 2(y^2-4x+4)+4y-8+1\\ & =& 2y^2-8y+8+4y-8+1\\ g\left(y\right)& =& 2y^2-4y+1\\ g\left(x\right)& =& 2x^2-4x+1\\ g\left(2x\right)& =& 2{\left(2x\right)}^2-4\left(2x\right)+1\\ & =& 2\left(4x^2\right)-8x+1\\ g\left(2x\right)& =& 8x^2-8x+1\end{array}$$
Cukup 10 nomor dulu pembahasan dari saya. Menurut saya tidak ada soal yang terlihat sulit. Semua  mudah dan gampang. Siapa saja bisa mengerjakannya. Pada postingan selanjutnya saya akan mencoba memposting soal nomor 11 - 20. Mungkin soal tersebut akan tergolong lumayan. Tetap semangat belajar.