Pembagian Istimewa dan Deret Teleskoping

Sudah lama sekali rasanya tidak menulis di blog ini. Pada kesempatan kali ini saya akan mencoba memuat materi yang ada kaitannya dengan deret Teleskoping. Namun sebelum kita membahas deret tersebut, ada kalanya kita akan membahas dulu pembagian istimewa dalam suku banyak. Kemudian kita aplikasikan dalam masalah.

Pada pembagian instimewa diperoleh sisa $S=0$ dan hasil bagi merupakan faktor dari $f(x)$. Pembagian istimewa tersebut adalah

1. ${\displaystyle \frac{a^n-b^n}{a-b}}=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1}$
2. ${\displaystyle \frac{a^{2n}-b^{2n}}{a+b}}=a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}{b}^2-\cdots -b^{2n-1}$
3. ${\displaystyle \frac{a^{2n+1}+b^{2n+1}}{a+b}}=a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}{b}^2-\cdots +b^{2n}$

Jadi seandainya  ${\displaystyle \frac{a^3-b^3}{a-b}}=a^2+ab+b^2$ atau jika ${\displaystyle \frac{a-b}{a^3-b^3}}={\displaystyle \frac{1}{a^2+ab+b^2}}$. Ada soal yang membahas ataupun menggunakan aplikasi pembagian istimewa diatas kemudian dilanjutkan dengan menggunakan deret teleskoping.

Jika diketahui  $$f(n)=\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+2n+1}+\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{n^2-2n+1}}$$ untuk setiap $n\in \mathbb{N}$. Nilai dari $f(1)+f(3)+f(5)+\cdots +f(999999)$ adalah ....

Sekilas terlihat bahwa soal diatas cukup sulit dikerjakan dengan menggunakan cara biasa. namun dengan sedikit operasi aljabar akan memudahkan kita dalam mengerjakan soal diatas.

Perhatikan bahwa $n^2-2n+1=(n-1{)}^2,n^2+2n+1=(n+1{)}^2$ dan $n^2-1=(n-1)(n+1)$. kemudian kita misalkan $\sqrt[3]{n+1}=a$ dan $\sqrt[3]{n-1}=b$. Selanjutnya fungsi $f(n)$ dapat kita sederhanakan sebagai berikut.

$$\begin{array}{rl}f(n)& =\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+2n+1}+\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{n^2-2n+1}}\\ & =\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{n+1}\right)}^2+\sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n-1}+{\left(\sqrt[3]{n-1}\right)}^2}\\ & =\frac{1}{a^2+ab+b^2}\\ & =\frac{a-b}{a^3-b^3}\\ & =\frac{\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1}}{(n+1)-(n-1)}\\ & =\frac{1}{2}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n-1})\end{array}$$

Setelah itu terlihat bahwa

$$\begin{array}{rl}& f(1)+f(3)+f(5)+\cdots +f(999999)\\ & =\frac{1}{2}(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{0}+\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{4}+\cdots +\sqrt[3]{1000000}-\sqrt[3]{999998})\\ & =\frac{1}{2}(\sqrt[3]{1000000}-\sqrt[3]{0})\\ & =50\end{array}$$

Sekian dulu. Jika masih ada yang ingin ditanyakan silahkan menghubungi kotak komentar dibawah. Terima kasih buat Mas Tutur atas tulisan di blognya yang membuat saya ada inspirasi mengerjakan soal ini.