Latihan Soal-Soal Matematika Tentang Logaritma

Halo sobat blogger semua. Kali ini saya akan memposting tentang latihan soal-soal tentang logaritma. Seperti yang sudah kita ketahui bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan dan memiliki sifat-sifat unik yang bisa dibuktikan dengan teorema-teorema dalam matematika. Kali ini saya akan mencoba membahas soal-soal tentang logaritma dari tingkatan yang mudah sampai tingkatan advance. Oke

Definisi Logaritma

Misalkan $a$ adalah bilangan positif $(a>0)$ dan $g$ adalah bilangan positif yang tidak sama dengan $1$  $(0<g<1\text{atau}g>1)$
$${}^g\log a=x\text{jika dan hanya jika }{g}^x=a$$catatan :

$g$ disebut bilangan pokok atau basis logarima

$a$ disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logarimanya dengan ketentuan $a>0$

$x$ disebut hasil logarima, nilainya dapat positif, negatif atau nol

Sifat-sifat Logaritma

beberapa sifat logaritma antara lain:

${}^a\log 1=0$

${}^a\log a=1$

${}^a\log a^p=p$

${}^a\log (p\times q){=}^a\log p{+}^a\log q$

${}^a\log \left({\displaystyle \frac{p}{q}}\right){=}^a\log p{-}^a\log q$

${}^a\log p^m=m{\times }^a\log p$

${}^{a^n}\log p^m={\displaystyle \frac{m}{n}}{\times }^a\log p$

${}^a\log p{\times }^p\log q{=}^a\log q$

${}^a\log p={\displaystyle \frac{{}^m\log p}{{}^m\log a}}$

jika terdapat logaritma dengan bilangan pokok 10, maka bilangan pokok tidak perlu dituliskan .

Contoh 

$\log a$ sama artinya dengan ${}^{10}\log a$

Soal-Soal Latihan dan Pembahasan

Nilai dari ${}^3\log 4{+}^3\log 54{-}^3\log 8$ adalah...

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rcl}{}^3\log 4{+}^3\log 54{-}^3\log 8& =& {}^3\log \left(\frac{4\times 54}{8}\right)\\ & =& {}^3\log \left(\frac{216}{8}\right)\\ & =& {}^3\log \left(27\right)\\ & =& {}^3\log 3^3\\ & =& 3{\times }^3\log 3\\ & =& 3\times 1\\ & =& 3\end{array}$$Nilai dari ${}^3\log 4{+}^3\log 54{-}^3\log 8$ adalah $3$

Jika ${}^7\log 5=a$ dan ${}^5\log 4=b$, maka ${}^4\log 35=.....$

 ${}^7\log 5=a$ maka ${\displaystyle \frac{\log 5}{\log 7}}=a$ atau $\log 7={\displaystyle \frac{1}{a}}\log 5$
 ${}^5\log 4=b$ maka ${\displaystyle \frac{\log 4}{\log 5}}=b$ atau $\log 4=b\log 5$

 $$\begin{array}{rcl}{}^4\log 35& =& \frac{\log 35}{\log 4}\\ & =& \frac{\log (5\times 7)}{\log 4}\\ & =& \frac{\log 5+\log 7}{\log 4}\\ & =& \frac{\log 5+{\displaystyle \frac{1}{a}}\log 5}{b\log 5}\\ & =& \frac{\log 5(1+{\displaystyle \frac{1}{a}})}{b\log 5}\\ & =& \frac{(1+{\displaystyle \frac{1}{a}})}{b}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{a+1}{a}}}{b}\\ & =& \frac{a+1}{ab}\end{array}$$${}^4\log 35={\displaystyle \frac{a+1}{ab}}$

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut !

$\log (x^2-3x+7)=\log (3x+2)$
${}^6\log (x-3){+}^6\log (x+7){=}^6\log (3x-1)$

a. $\log (x^2-3x+7)=\log (3x+2)$$$\begin{array}{rcl}\log (x^2-3x+7)& =& \log (3x+2)\\ (x^2-3x+7)& =& (3x+2)\\ x^2-3x-3x+7-2& =& 0\\ x^2-6x+5& =& 0\\ (x-5)(x-1)& =& 0\\ (x-5)=0& \text{atau}& (x-1)=0\\ x=5& \text{atau}& x=1\end{array}$$
b. ${}^6\log (x-3){+}^6\log (x+7){=}^6\log (3x-1)$
$$\begin{array}{rcl}{}^6\log (x-3){+}^6\log (x+7)& =& {}^6\log (3x-1)\\ {}^2\log (x-3)(x+7)& =& {}^6\log (3x-1)\\ (x-3)(x+7)& =& (3x-1)\\ x^2+7x-3x-21& =& 3x-1\\ x^2+4x-21& =& 3x-1\\ x^2+4x-3x-21+1& =& 0\\ x^2+x-20& =& 0\\ (x+5)(x-4)& =& 0\\ (x+5)=0& \text{atau}& (x-4)=0\\ x=-5& \text{atau}& x=4\end{array}$$

Misalkan ${\log }^{2}a$ adalah notasi untuk ${(\log a)}^2$. Tentukan nilai $a$ yang memenuhi ${\log }^{2}a+\log a-20=0$

Misalkan $\log a=P$ maka persamaan menjadi
$$\begin{array}{rcl}{P}^2+P-20& =& 0\\ (P+5)(P-4)& =& 0\\ (P+5)=0& \text{atau}& (P-4)=0\\ P=-5& \text{atau}& P=4\end{array}$$
Karena $P=\log a$ maka
$$\begin{array}{rcl}\log a=-5& \text{atau}& \log a=4\\ a={10}^{-5}& \text{atau}& a={10}^4\\ a=\frac{1}{100.000}& \text{atau}& a=10.000\end{array}$$
Jadi, nilai $a$ adalah $a=\frac{1}{100.000}$ atau $a=10.000$

Sudah dulu yah. nanti kita sambung lagi. Oke