Garis Singgung Lingkaran

Postingan kali ini akan membahas tentang Garis Singgung Lingkaran Untuk Kelas VIII Tingkat SMP/MTS.  Namun tidak menutup kemungkinan untuk tingkatan SMA/SMK untuk mempelajarinya.

Sifat Garis Singgung Lingkaran

Perhatikan  Gambar berikut.

Gambar 1. garis singgung lingkaran yang menyinggung lingkaran di titik $A$ 

Gambar (1)  diatas menunjukkan lingkaran yang berpusat di titik $O$ dengan diameter $AB$. Garis $g$ tegak lurus $AB$ dan memotong lingkaran di dua titik. Jika $g$ digeser terus menerus ke atas hingga menyentuh titik $A$ maka akan diperoleh garis $g^{\prime }$ yang menyinggung lingkaran dan tegak lurus $AB$. Garis $g^{\prime }$ disebut garis singgung dan titik $A$ disebut titik singgung. Uraian di atas menggambarkan definisi dari garis singgung lingkaran yaitu:

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya.

Perhatikan Gambar diatas. Gambar 2 (a)  di bawah memperlihatkan bahwa garis $g$ menyinggung lingkaran di titik $A$. Garis $g$ tegak lurus jari-jari $OA$. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran.

Pada Gambar 2 (b) , titik $R$ terletak di luar lingkaran. Garis $l$ melalui titik $R$ dan menyinggung lingkaran di titik $P$, sehingga garis $l$ tegak lurus jari-jari $OP$. Garis $m$ melalui titik $R$ dan menyinggung lingkaran di titik $Q$, sehingga garis $m$ tegak lurus jari-jari $OQ$. Dengan demikian, dapat dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran.

 Gambar 2. Garis singgung melalui satu titik

Melukis Garis Singgung

Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian berikut.

Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran

Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Oleh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik singgung $P$ sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus terhadap jari-jari $OP$.

Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini.

# Buatlah lingkaran dengan pusat $O$ dan jari-jari $OP$ yang diperpanjang hingga titik $Q$.

# Buatlah busur dengan pusat $P$ yang memotong ruas $OP$ dan $PQ$ di titik $A$ dan $B$.

# Buatlah busur dengan pusat $A$ dan $B$ sehingga berpotongan di titik $C$. Ingat, jari-jarinya harus sama.

# Hubungkan titik $C$ dan $P$ sehingga membentuk garis $CP$. Garis inilah yang disebut garis singgung $g$ yang melalui titik $P$ pada lingkaran dengan pusat $O$.

Ternyata, kita hanya dapat membuat satu buah garis singgung lingkaran di titik $P$. Hal ini membuktikan sifat garis singgung lingkaran pada bagian sebelumnya.

Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.

# Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat $O$. Hubungkan $O$ dengan titik $T$ yang terletak di luar lingkaran.

#  Bagilah garis $OT$ menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan menempat kan titik $M$ sebagai titik tengah, sehingga $OM=MT$.

# Buatlah busur lingkaran dengan pusat $M$ dan jari-jari $OM$ sehingga memotong lingkaran dengan pusat $O$ di titik $A$ dan $B.$

# Hubungkan titik $A$ dengan $T$ dan titik $B$ dengan $T$ sehingga diperoleh $AT$ dan $BT$, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik $T$.

Ternyata, kamu dapat membuat dua buah garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran.

Panjang Garis Singgung Lingkaran

Setelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran. Perhatikan gambar berikut.

Garis $AB$ dan $BC$ adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $O$. Panjang $OA$ = panjang $OC=r=$ jari-jari lingkaran. Oleh karena garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang garis singgung $AB$ dan $BC$ dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras.

Perhatikan $\mathrm{△}OAB$ pada . Pada $\mathrm{△}OAB$ berlaku teorema Pythagoras, yaitu:

$$\begin{array}{rcl}O{A}^2+A{B}^2& =& O{B}^2\\ A{B}^2& =& O{B}^2-O{A}^2\\ AB& =& \sqrt{O{B}^2-O{A}^2}\\ AB& =& \sqrt{O{B}^2-r^2}\end{array}$$
Begitu juga untuk $\mathrm{△}OCB$ . Sehingga disimpulkan bahwa Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang yang sama.