Lanjutan Pembahasan Evaluasi Modul Pelatihan Guru Mata Pelajaran Matematika SMK Kelompok Kompetensi H BidangProfesional Trigonometri

Kembali saya akan melanjutkan pembahasan saya mengenai Evaluasi Modul Pelatihan Guru Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelompok Kompetensi H Bidang Profesional Trigonometri yang sudah saya bahas di sini. Perlu kita ketahui bahwa materi Trigonometri ini memang sangat menarik untuk di bahas. Saya pribadi cukup tertantang dalam membahasnya. Ketika di kerjakan dengan serius, ehh ternyata soalnya mudah. hehehe

Dalam pembahasan lanjutan ini ada beberapa soal yang menurut saya sangat tidak elementer. Artinye pembahasannya cukup panjang dan bertele-tele. Bagi pembaca yang merasa memiliki pembahasan yang berbeda dan elegan solusinya bisa share disini.

Pembahasan ini juga tidak menutup kemungkinan terjadi kesalahan. Baik itu kesalahan berpikir ataupun kesalahan ketik. Mohon Saran dan kritikannya.


Pembahasan saya mulai dari nomor 8 melanjutkan yang kemarin ......


8. Jika $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}$ dan $\tan \beta ={\displaystyle \frac{4}{3}}$, $\alpha$ dan $\beta$ merupakan sudut lancip, maka nilai $\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )$ adalah ....
a. ${\displaystyle \frac{32}{25}}$
b. $1$
c. ${\displaystyle \frac{18}{25}}$
d. ${\displaystyle \frac{11}{25}}$
e. ${\displaystyle \frac{4}{25}}$

Jawaban : C 

Jika $\tan \beta ={\displaystyle \frac{4}{3}}$ maka jelas bahwa $\cos \beta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$ sehingga

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha +\beta )& =& \sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha \\ \sin (\alpha -\beta )& =& \sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha \end{array}$$Kita jumlahkan 2 persamaan diatas menjadi
$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )& =& \sin \alpha \cos \beta -\sin \alpha \cos \beta +\sin \alpha \cos \beta +\sin \alpha \cos \beta \\ & =& \sin \alpha \cos \beta +\sin \alpha \cos \beta \\ & =& 2\sin \alpha \cos \beta \\ & =& 2\times {\displaystyle \frac{3}{5}}\times {\displaystyle \frac{3}{5}}\\ & =& {\displaystyle \frac{18}{25}}\end{array}$$Jadi Nilai $\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )={\displaystyle \frac{18}{25}}$

9. ${\displaystyle \frac{\tan {140}^{\circ }+\tan {70}^{\circ }}{1-\tan {140}^{\circ }\tan {70}^{\circ }}}=....$
a. $-\sqrt{3}$
b. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$
c. ${\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}}{3}}$
d. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}}$
e. $\sqrt{3}$

Jawaban : B

Perhatikan Rumus tangen berikut
$$\tan (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$$
Sehingga nilai ${\displaystyle \frac{\tan {140}^{\circ }+\tan {70}^{\circ }}{1-\tan {140}^{\circ }\tan {70}^{\circ }}}=\tan ({140}^{\circ }+{70}^{\circ })=\tan \left({210}^{\circ }\right)$.
Nilai $\tan \left({210}^{\circ }\right)$ bisa kita ubah menjadi $\tan \left({210}^{\circ }\right)=\tan ({150}^{\circ }+\tan {60}^{\circ })$.
Sekarang kita tinggal menguraikan seperti pada soal
$$\begin{array}{rcl}\tan ({150}^{\circ }+\tan {60}^{\circ })& =& \frac{\tan {150}^{\circ }+\tan {60}^{\circ }}{1-\tan {150}^{\circ }\tan {60}^{\circ }}\\ & =& \frac{(-\frac{1}{3}\sqrt{3})+\left(\sqrt{3}\right)}{1-(-\frac{1}{3}\sqrt{3})\left(\sqrt{3}\right)}\\ & =& \frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}}{1+1}\\ & =& \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}\\ \tan ({150}^{\circ }+\tan {60}^{\circ })& =& \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}$$
Kesimpulannya adalah nilai ${\displaystyle \frac{\tan {140}^{\circ }+\tan {70}^{\circ }}{1-\tan {140}^{\circ }\tan {70}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{\tan {150}^{\circ }+\tan {60}^{\circ }}{1-\tan {150}^{\circ }\tan {60}^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$

10. $(1-{\sin }^{2}x){\tan }^{2}x$ sama dengan ....
a. $2{\sin }^{2}x-1$
b. ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$
c. $1-{\cos }^{2}x$
d. $1-{\sin }^{2}x$
e. ${\sin }^{2}x+2$

Jawaban : C

$$\begin{array}{rcl}(1-{\sin }^{2}x){\tan }^{2}x& =& {\cos }^{2}x{\tan }^{2}x\\ & =& {\cos }^{2}x\left(\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\right)\\ & =& {\sin }^{2}x\\ & =& 1-{\cos }^{2}x\end{array}$$ Sehingga nilai $(1-{\sin }^{2}x){\tan }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$

11. Jika $\cos 2x={\displaystyle \frac{1-a^2}{1+a^2}}$ maka $\tan x=....$
a. $-a$
b. $-2a$
c. $\pm a$
d. $a$
e. $a^2$

Jawaban : C

Karena $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ maka
$$\begin{array}{rcl}\cos 2x& =& {\displaystyle \frac{1-a^2}{1+a^2}}\\ 2{\cos }^{2}x-1& =& {\displaystyle \frac{1-a^2}{1+a^2}}\\ 2{\cos }^{2}x& =& {\displaystyle \frac{1-a^2}{1+a^2}}+1\\ 2{\cos }^{2}x& =& {\displaystyle \frac{1-a^2}{1+a^2}}+\frac{1+a^2}{1+a^2}\\ 2{\cos }^{2}x& =& \frac{2}{1+a^2}\\ {\cos }^{2}x& =& \frac{\frac{2}{1+a^2}}{2}\\ {\cos }^{2}x& =& \frac{1}{1+a^2}\\ \cos x& =& \sqrt{\frac{1}{1+a^2}}\end{array}$$
Perhatikan gambar berikut !

Panjang $BC$ dapat kita cari dengan menggunakan rumus Pythagoras yaitu
$$\begin{array}{rcl}B{C}^2& =& A{B}^2-A{C}^2\\ & =& 1^2-{\left(\sqrt{\frac{1}{1+a^2}}\right)}^2\\ & =& 1-\frac{1}{1+a^2}\\ & =& \frac{1+a^2}{1+a^2}-\frac{1}{1+a^2}\\ B{C}^2& =& \frac{a^2}{1+a^2}\\ BC& =& \sqrt{\frac{a^2}{1+a^2}}\end{array}$$
Sekarang kita mencari nilai $\tan x$
$$\begin{array}{rcl}\tan x& =& \frac{\sqrt{\frac{a^2}{1+a^2}}}{\sqrt{\frac{1}{1+a^2}}}\\ & =& \sqrt{\frac{\frac{a^2}{1+a^2}}{\frac{1}{1+a^2}}}\\ & =& \sqrt{\frac{a^2}{1}}\\ & =& \sqrt{a^2}\\ \tan x& =& \pm a\end{array}$$Jadi Nilai $\tan x=\pm a$

12. $\sin 4x\sin 3x-\cos 4x\cos 3x=....$
a.  $\sin x$
b.  $\cos (-x)$
c.  $-\cos x$
d.  $\cos 7x$
e.  $-\cos 7x$

Jawaban : E

Perhatikan syarat pengerjaan soal ini $\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
$$\begin{array}{rcl}\sin 4x\sin 3x-\cos 4x\cos 3x& =& -\cos 4x\cos 3x+\sin 4x\sin 3x\\ & =& -(\cos 4x\cos 3x-\sin 4x\sin 3x)\\ & =& -\cos (4x+3x)\\ \sin 4x\sin 3x-\cos 4x\cos 3x& =& -\cos 7x\end{array}$$

13. Persamaan dari grafik berikut adalah ....

a. $y=2\sin (x-\frac{1}{2}\pi )$
b. $y=2\sin (\frac{1}{2}\pi -x)$
c. $y=2\sin (2x+\frac{1}{2}\pi )$
d. $y=-2\sin (\frac{1}{2}\pi +x)$
e. $y=-2\sin (2x-\frac{1}{2}\pi )$

Jawaban : C

Bentuk umum grafik fungsi $\sin x$ adalah $y=a\sin (kx+b)$

Maksimum dari grafik tersebut adalah $2$ dan minimum dari grafik tersebut adalah $-2$ sehingga kita dapatkan nilai $a=2$. Persamaan Grafiknya menjadi $y=2\sin (kx+b)$. Jawaban d dan e jelas salah.


Dari grafik tersebut terlihat bahwa periodenya adalah ${180}^{\circ }$ kemudian kurva di geser ke sebelah kiri sebesar ${45}^{\circ }$ sehingga ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{k}}={180}^{\circ }\Rightarrow k=2$. Diperoleh $k=2$ maka grafiknya menjadi $y=2\sin (2x+b)$


Karena di geser ke sebelah kiri sebesar ${45}^{\circ }$ maka nilai $b$ haruslah positif. Maka ${\displaystyle \frac{b}{k}}={45}^{\circ }\Rightarrow {\displaystyle \frac{b}{2}}={45}^{\circ }\Rightarrow b={90}^{\circ }$. Nilai $b={90}^{\circ }$ atau dengan kara lain $b={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi$ sehingga grafiknya adalah $$y=2\sin (2x+\frac{1}{2}\pi )$$

14. Penyelesaian persamaan $\sin x+\cos x=0$ dengan $0^{\circ }<x<{360}^{\circ }$ adalah ...
a. ${45}^{\circ }$ dan ${35}^{\circ }$
b. ${135}^{\circ }$ dan ${315}^{\circ }$
c. ${45}^{\circ }$ dan ${225}^{\circ }$
d. ${225}^{\circ }$ dan ${315}^{\circ }$
e. ${45}^{\circ }{135}^{\circ },{225}^{\circ }$, dan ${315}^{\circ }$

Jawaban : B

Diketahui persamaan $\sin x+\cos x=0$ dengan batas-batas $0^{\circ }<x<{360}^{\circ }$. Perhatikan untuk mencari persamaan trigonometri bentuk $\sin x=\sin \alpha$ adalah
$$\begin{array}{rcl}x& =& \alpha +k\times {360}^{\circ }\\ x& =& {180}^{\circ }-\alpha +k\times {360}^{\circ }\end{array}$$
Jadi ada 2 kemungkinan nilai yang harus kita cari himpunan penyelesaiannya. Kita cari nilai $x$
$$\begin{array}{rcl}\sin x+\cos x& =& 0\\ \sin x& =& -\cos x\\ \sin x& =& -\sin (90+x)\\ x& =& -(90+x)+k\times {360}^{\circ }\\ x& =& -90-x+k\times {360}^{\circ }\\ 2x& =& -90+k\times {360}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+k\times {180}^{\circ }\end{array}$$

# Untuk $k=0$ maka di peroleh

$$\begin{array}{rcl}x& =& -{45}^{\circ }+k\times {180}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+\left(0\right)\times {180}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }\left(\text{tidak memenuhi}\right)\end{array}$$

# Untuk $k=1$ maka di peroleh

$$\begin{array}{rcl}x& =& -{45}^{\circ }+k\times {180}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+\left(1\right)\times {180}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+{180}^{\circ }\\ x& =& {135}^{\circ }\left(\text{memenuhi}\right)\end{array}$$


# Untuk $k=2$ maka di peroleh

$$\begin{array}{rcl}x& =& -{45}^{\circ }+k\times {180}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+\left(2\right)\times {180}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+{360}^{\circ }\\ x& =& {315}^{\circ }\left(\text{memenuhi}\right)\end{array}$$

# Untuk $k=3$ maka di peroleh

$$\begin{array}{rcl}x& =& -{45}^{\circ }+k\times {180}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+\left(3\right)\times {180}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+{540}^{\circ }\\ x& =& {495}^{\circ }\left(\text{tidak memenuhi}\right)\end{array}$$Jadi nilai $x$ yang memenuhi adalah ${135}^{\circ }$dan ${315}^{\circ }$

Alternatif Penyelesaian :

Persamaan Trigonometri Bentuk $a\cos x+b\sin x=c$.

Untuk menyelesaikan persamaan $a\cos x+b\sin x=c$, persamaan tersebut harus diubah ke bentuk berikut
$$k\cos (x-\alpha )=c$$
dengan $k=\sqrt{a^2+b^2}$ dan $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{b}{a}}\Rightarrow \alpha ={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)$.

Kita kembali pada soal diatas, yaitu $\sin x+\cos x=0\text{dengan batas-batas}{0}^{\circ }<x<{360}^{\circ }$ kita mendapatkan $a=1$, $b=1$ dan $c=0$
\begin{eqnarray*}

k & = & \sqrt{1^{2}+1^{2}}\
k & = & \sqrt{2}
\end{eqnarray*}
$$\begin{array}{rcl}\tan \alpha & =& \frac{1}{1}\\ \tan \alpha & =& 1\\ \alpha & =& {\tan }^{-1}\left(1\right)\\ \alpha & =& {45}^{\circ }\end{array}$$
Sehingga bentuk umum $k\cos (x-\alpha )=c$ menjadi $\sqrt{2}\cos (x-{45}^{\circ })=0$.
Sekarang mari kita selesaikan satu persatu.
$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2}\cos (x-{45}^{\circ })& =& 0\\ \cos (x-{45}^{\circ })& =& 0\\ \cos (x-{45}^{\circ })& =& \cos {90}^{\circ }\end{array}$$

i). $\cos (x-{45}^{\circ })=\cos {90}^{\circ }$ di ubah menjadi $x-{45}^{\circ }={90}^{\circ }+k\times {360}^{\circ }$ kita sederhanakan menjadi $x={135}^{\circ }+k\times {360}^{\circ }$

# Untuk $k=0$

$$\begin{array}{rcl}x& =& {135}^{\circ }+k\times {360}^{\circ }\\ x& =& {135}^{\circ }+\left(0\right)\times {360}^{\circ }\\ x& =& {135}^{\circ }+0\\ x& =& {135}^{\circ }\left(\text{memenuhi}\right)\end{array}$$

# Untuk $k=1$

$$\begin{array}{rcl}x& =& {135}^{\circ }+k\times {360}^{\circ }\\ x& =& {135}^{\circ }+\left(1\right)\times {360}^{\circ }\\ x& =& {135}^{\circ }+{360}^{\circ }\\ x& =& {495}^{\circ }\left(\text{tidak memenuhi}\right)\end{array}$$

# Untuk $k=2$

$$\begin{array}{rcl}x& =& {135}^{\circ }+k\times {360}^{\circ }\\ x& =& {135}^{\circ }+\left(2\right)\times {360}^{\circ }\\ x& =& {135}^{\circ }+{720}^{\circ }\\ x& =& {855}^{\circ }\left(\text{tidak memenuhi}\right)\end{array}$$

ii). $\cos (x-{45}^{\circ })=\cos {90}^{\circ }$di ubah menjadi $x-{45}^{\circ }=-{90}^{\circ }+k\times {360}^{\circ }$ kita sederhanakan menjadi $x=-{45}^{\circ }+k\times {360}^{\circ }$

# Untuk $k=0$

$$\begin{array}{rcl}x& =& -{45}^{\circ }+k\times {360}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+\left(0\right)\times {360}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+0\\ x& =& -{45}^{\circ }\left(\text{tidak memenuhi}\right)\end{array}$$


# Untuk $k=1$

$$\begin{array}{rcl}x& =& -{45}^{\circ }+k\times {360}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+\left(1\right)\times {360}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+{360}^{\circ }\\ x& =& {315}^{\circ }\left(\text{memenuhi}\right)\end{array}$$

# Untuk $k=2$

$$\begin{array}{rcl}x& =& -{45}^{\circ }+k\times {360}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+\left(2\right)\times {360}^{\circ }\\ x& =& -{45}^{\circ }+{720}^{\circ }\\ x& =& {675}^{\circ }\left(\text{tidak memenuhi}\right)\end{array}$$Jadi nilai $x$ yang memenuhi adalah ${135}^{\circ }$dan ${315}^{\circ }$

15. Diketahui grafik fungsi $y=\frac{2}{5}\sin (x+{30}^{\circ })$. Amplitudo dari fungsi tersebut adalah ....
a.  $1$
b.  ${\displaystyle \frac{2}{5}}$
c.  ${30}^{\circ }$
d. $2$
e. $5$

Jawaban : B

Bentuk umum grafik fungsi $\sin x$ adalah $y=a\sin (kx+b)$. Amplitudo dari grafik $y=\frac{2}{5}\sin (x+{30}^{\circ })$ adalah $a={\displaystyle \frac{2}{5}}$

Penutup

Demikian Pembahasan Evaluasi Modul Pelatihan Guru Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelompok Kompetensi H Bidang Profesional Trigonometri sudah selesai semuanya 15 nomor. Masih banyak soal-soal latihah di dalam modul tetapi yang paling penting adalah evaluasinya. Untuk modul-modul yang lain silahkan lihat di postingan saya yang lain.