Penerapan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Engel dalam OSNK Matematika Tahun 2025 Bidang Kemampuan Lanjut

Dalam dunia Olimpiade Matematika, Ketaksamaan Cauchy-Schwarz (CS) adalah salah satu senjata utama untuk menyelesaikan soal-soal aljabar tingkat lanjut. Salah satu bentuk turunan dari ketaksamaan ini yang sangat populer dan sering muncul di soal-soal OSN adalah Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Bentuk Engel (sering juga disebut sebagai Titu's Lemma atau Sedrakyan's Lemma).

Apa itu Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Engel?

Untuk sembarang bilangan real $a_1, a_2, \dots, a_n$ dan bilangan real positif $b_1, b_2, \dots, b_n$, berlaku:

\[\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \dots + \frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac{(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \dots + b_n}\]Tanda kesamaan (nilai minimum) terjadi jika dan hanya jika:\[\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}\]

Asal-Usul CS-Engel

Bentuk Engel ini sebenarnya adalah akibat langsung (korolari) dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz bentuk standar. Mari kita buktikan dari mana asalnya agar pemahaman kita lebih utuh.

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz standar menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan real $x_i$ dan $y_i$:

\[(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2) \ge (x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_ny_n)^2\]

Sekarang, mari kita substitusikan variabelnya dengan trik berikut:

Misalkan $x_i = \frac{a_i}{\sqrt{b_i}}$ dan $y_i = \sqrt{b_i}$. Mengingat $b_i > 0$, maka substitusi ini sah. Jika kita masukkan ke CS standar, kita peroleh:

\[\left( \left(\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}\right)^2 + \dots + \left(\frac{a_n}{\sqrt{b_n}}\right)^2 \right) \left( (\sqrt{b_1})^2 + \dots + (\sqrt{b_n})^2 \right) \ge \left( \frac{a_1}{\sqrt{b_1}}\sqrt{b_1} + \dots + \frac{a_n}{\sqrt{b_n}}\sqrt{b_n} \right)^2\]

\[\left( \frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \dots + \frac{a_n^2}{b_n} \right) (b_1 + b_2 + \dots + b_n) \ge (a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2\]

Bagi kedua ruas dengan $(b_1 + b_2 + \dots + b_n)$, maka terbuktilah Ketaksamaan CS-Engel.

Penjelasan selengkapnya bisa dilihat pada artikel saya Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Engel

Penerapan pada Soal OSK

Mari kita terapkan teori di atas untuk membedah soal OSK tahun 2025 bidang kemampuan Lanjut berikut ini.

Misalkan $x, y, z$ adalah bilangan-bilangan real positif dengan \[ \frac{1}{1+x+y} + \frac{1}{1+y+z} + \frac{1}{1+z+x} = \frac{1}{4} \]Nilai minimum dari $3x + 5y + 6z$ adalah $A\sqrt{2} + B$ dengan $A, B$ bilangan asli. Nilai $A + B$ adalah ....

Pembahasan Lengkap (Step-by-Step)

Banyak siswa bingung saat melihat kunci jawaban karena tiba-tiba muncul angka manipulasi tanpa penjelasan. Mari kita bedah rahasia di balik penemuan angka tersebut.

Langkah 1: Menganalisis Tujuan

Kita diminta mencari nilai minimum dari bentuk $\mathbf{3x + 5y + 6z}$. 

Sementara itu, kita memiliki pecahan. Agar bisa menggunakan CS-Engel, kita akan menjumlahkan penyebut-penyebut tersebut. 

Jika kita langsung menggunakan CS-Engel pada bentuk aslinya:

\[\frac{1^2}{1+x+y} + \frac{1^2}{1+y+z} + \frac{1^2}{1+z+x} \ge \frac{(1+1+1)^2}{(1+x+y)+(1+y+z)+(1+z+x)} = \frac{9}{3+2x+2y+2z}\]

Perhatikan penyebut hasil akhirnya: $2x+2y+2z$. Bentuk ini tidak ada hubungannya dengan bentuk yang ditanyakan yaitu $3x+5y+6z$. Artinya, kita harus memanipulasi pecahan awal dengan memberikan "bobot" pengali.

Langkah 2: Mencari Konstanta Pengali (Rahasia Manipulasi)

Kita kalikan pembilang dan penyebut masing-masing pecahan dengan suatu konstanta $m, n,$ dan $p$.

\[\frac{m}{m(1+x+y)} + \frac{n}{n(1+y+z)} + \frac{p}{p(1+z+x)} = \frac{1}{4}\]

Jika kita jumlahkan penyebutnya nanti (sebagai syarat CS-Engel), hasilnya harus proporsional (berbanding lurus) dengan target kita $3x + 5y + 6z$.

Mari kita jumlahkan penyebut-penyebutnya:

\[m(1+x+y) + n(1+y+z) + p(1+z+x) = (m+p)x + (m+n)y + (n+p)z + (m+n+p)\]

Agar koefisien $x, y, z$ sebanding dengan $3, 5, 6$, kita buat persamaan rasio:

\begin{align*}m + p &= 3k \\m + n &= 5k \\n + p &= 6k\end{align*}

Jumlahkan ketiga persamaan tersebut:

\[2(m + n + p) = 14k \implies m + n + p = 7k\]

Sekarang kita bisa mencari nilai $m, n, p$:

• $p = (m+n+p) - (m+n) = 7k - 5k = 2k$
• $n = (m+n+p) - (m+p) = 7k - 3k = 4k$
• $m = (m+n+p) - (n+p) = 7k - 6k = k$

Untuk mempermudah, kita pilih $k=1$. Sehingga kita dapatkan "angka ajaib" kita:$$\mathbf{m = 1, \quad n = 4, \quad p = 2}$$.

Langkah 3: Menerapkan CS-Engel

Kalikan masing-masing pecahan pada soal dengan bobot $m, n, p$ yang baru saja kita temukan:

\[\frac{1}{1(1+x+y)} + \frac{4}{4(1+y+z)} + \frac{2}{2(1+z+x)} = \frac{1}{4}\]

Ubah pembilang menjadi bentuk kuadrat agar sesuai dengan format CS-Engel $\left( \frac{a^2}{b} \right)$:

\[\frac{1^2}{1+x+y} + \frac{2^2}{4+4y+4z} + \frac{(\sqrt{2})^2}{2+2z+2x} = \frac{1}{4}\]

Sekarang, terapkan Ketaksamaan CS-Engel:

\[\frac{1^2}{1+x+y} + \frac{2^2}{4+4y+4z} + \frac{(\sqrt{2})^2}{2+2z+2x} \ge \frac{(1 + 2 + \sqrt{2})^2}{(1+x+y) + (4+4y+4z) + (2+2z+2x)}\]

Jabarkan ruas kanan:

• Pembilang: $(3 + \sqrt{2})^2 = 3^2 + 2(3)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}$.
• Penyebut: Kelompokkan variabel yang sama: $(1+4+2) + x(1+2) + y(1+4) + z(4+2) = 7 + 3x + 5y + 6z$.

Maka ketaksamaan menjadi:

\[\frac{1}{4} \ge \frac{11 + 6\sqrt{2}}{3x + 5y + 6z + 7}\]

Langkah 4: Menentukan Nilai Minimum

Karena $x, y, z$ adalah bilangan real positif, maka $(3x+5y+6z+7)$ pasti bernilai positif. Kita bisa melakukan perkalian silang tanpa mengubah tanda ketidaksamaan:

\begin{align*}3x + 5y + 6z + 7 &\ge 4 \times (11 + 6\sqrt{2}) \\3x + 5y + 6z + 7 &\ge 44 + 24\sqrt{2} \\3x + 5y + 6z &\ge 44 - 7 + 24\sqrt{2} \\3x + 5y + 6z &\ge 37 + 24\sqrt{2}\end{align*}

Jadi, nilai minimum dari $3x + 5y + 6z$ adalah $37 + 24\sqrt{2}$, atau bisa ditulis $24\sqrt{2} + 37$.

Langkah 5: Kesimpulan

Dari soal diketahui bahwa nilai minimum adalah $A\sqrt{2} + B$. Dengan mencocokkan bentuk yang kita peroleh:\[ A\sqrt{2} + B = 24\sqrt{2} + 37 \]

Maka kita dapatkan $A = 24$ dan $B = 37$. (Keduanya merupakan bilangan asli, sesuai syarat).

Nilai yang ditanyakan adalah $A + B$:

\[ A + B = 24 + 37 = \mathbf{61} \]

Kesimpulan

Kunci untuk menguasai CS-Engel bukanlah sekadar menghafal rumusnya, melainkan kreativitas dalam menentukan bobot pengali (seperti angka 1, 4, dan 2 di atas) sehingga penyebut yang dijumlahkan bisa sesuai dengan bentuk aljabar yang ditargetkan pada soal.

Artikel tentang Soal-soal bentuk Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel