Diferensial (Turunan)

Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum atau minimum fungsi. Kemudian, kaitan antara garis singgung kurva dan velositas atau kecepatan suatu benda bergerak ditemukan pada masa berikutnya sekitar tahun 1660 an oleh Sir Isaac Newton (1642-1727). Selanjutnya, Newton mengembangkan temuan ini menjadi teori fluksi yang didasarkan ide intuitif dari limit didalamnya muncul konsep diferensial dimana beberapa istilah dan notasi diciptakan. Pada pihak lain, secara terpisah Gottfried Leibniz (1646-1716) sekitar tahun 1680 menyelidiki bahwa luas daerah di bawah kurva dapat dihitung dengan membalik proses diferensial. Teknik menarik Leibniz ini dapat memecahkan masalah yang sebelumnya sangat sulit menjadi sangat mudah; merupakan pemicu ketertarikan bagi banyak matematikawan melakukan riset pengembangan dan dihasilkan teori koheren yang dewasa ini menjadi kalkulus diferensial dan kalkulus integral.

Defenisi:

Misalkan $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$ suatu interval, dan $f:\mathbb{I}\longrightarrow \mathbb{R}$ Bilangan real $L$ dikatakan derivatif $f$ di titik $c$ jika diberikan sebarang $\varepsilon > 0$ terdapat $\delta > 0$ berlaku

\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{I}\,\, \text{dimana} \,\, 0 < |x-c| < \delta \longrightarrow \left|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-L \right|< \varepsilon \end{eqnarray*}  dalam kasus ini dikatakan $f$ terdiferensial di $c$, ditulis $f'(c)=L$.

Kita lihat kembali defenisi $\lim\limits_{x \to c} g(x) =L$, kemudian diambil $\displaystyle g(x):=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ dalam ekspresi diatas . Dengan demikian dapat dikatakan, derivatif $f$ di $c$ diberikan oleh:

\begin{eqnarray}
f'(c)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}
\end{eqnarray} asalkan limit ini ada.
Lebih jelasnya mari kita perhatikan contoh berikut

Perhatikan fungsi $f(x):=x^2$, untuk $x \in \mathbb{R}$. Misalkan $c$ titik sebarang dalam $\mathbb{R}$ diperoleh

$$f'(x)=\lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\lim_{x \to c}\frac{x^2-c^2}{x-c}=\lim_{x \to c}(x+c)=2c$$

Karena $f'(c) = 2c$ terde nisi untuk setiap $c\in \mathbb{R}$ maka diperoleh $f'(x) = 2x$ untuk $x \in \mathbb{R}$.

Sumber :

Robert Bartle & Donal Sherbert. Introduction To Real Analysis $2^{nd}$. John Wiley & Sons