Teorema Sisa dan Aplikasinya

Teorema sisa adalah teorema dalam aljabar yang menyatakan bahwa sisa pembagian suatu polinomial $P(x)$ oleh $(x – a)$ adalah $P(a)$. Dengan kata lain, untuk mencari sisa pembagian polinomial oleh pembagi linear $(x-a)$ tanpa melakukan pembagian panjang, kita cukup mensubstitusikan nilai $x = a$ ke dalam polinomial $P(x)$ tersebut. 

Teorema Sisa (Remainder Theorem) adalah aturan dalam aljabar polinomial yang menyatakan bahwa jika sebuah polinomial $f(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagian tersebut sama dengan $f(a)$.

\[f(x) = (x-a)\,Q(x) + R, \quad \text{dengan } R = f(a)\]

di mana:

• $Q(x)$ adalah hasil bagi (polinomial),
• $R$ adalah sisa pembagian (konstanta),
• $a$ adalah akar dari faktor linear $(x-a)$.

Konsep Utama Pembagian Polinomial

Ketika sebuah polinomial $P(x)$ dibagi oleh polinomial lain $Q(x)$, hasilnya adalah polinomial hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$. Ini dapat ditulis sebagai $P(x) = Q(x)H(x) + S(x)$. 

Sisa Pembagian: 

Derajat sisa pembagian $S(x)$ selalu lebih kecil dari derajat pembagi $Q(x)$. 

Penerapan Teorema Sisa Teorema sisa sangat efisien karena memungkinkan kita menemukan sisa pembagian polinomial tanpa harus melakukan langkah-langkah pembagian bersusun. 

Pembagian dengan $(x – a)$: 

Jika $P(x)$ dibagi oleh $(x – a)$, maka sisanya adalah $P(a)$. 

Contoh: Jika $f(x)$ dibagi oleh $(x – 3)$, maka sisanya adalah $f(3)$. 

Pembagian dengan $(ax – b)$: 

Jika $P(x)$ dibagi dengan $(ax – b)$, maka kita dapat mencari nilai x dengan menyelesaikan persamaan $ax – b = 0$, yaitu $x = \frac{b}{a}$. Sisanya adalah $P(\frac{b}{a})$. 

Pembagian dengan Bentuk Kuadrat $(x – a)(x – b)$: 

Ketika pembagi adalah bentuk kuadrat seperti $(x – a)(x – b)$, sisanya akan berbentuk linear, yaitu $ax + b$. Untuk menemukan nilai $a$ dan $b$, kita mensubstitusikan nilai $x = a$ dan $x = b$ ke dalam polinomial $P(x)$ untuk membentuk dua persamaan, lalu menyelesaikan kedua persamaan tersebut untuk mencari $a$ dan $b$

Hubungan dengan Teorema Faktor

Jika $f(a) = 0$, maka sisanya $R=0$. Dengan demikian, $(x-a)$ adalah faktor dari $f(x)$.

Contoh 1

Misalkan $f(x) = x^2 + 3x + 2$, tentukan sisa pembagian oleh $(x-1)$.  

\[R = f(1) = 1^2 + 3(1) + 2 = 6\]

Jadi, sisanya adalah $\boxed{6}$.

Contoh 2

Misalkan $f(x) = x^2 - 4$, tentukan sisa pembagian oleh $(x-2)$.  

\[R = f(2) = 2^2 - 4 = 0\]

Karena $R=0$, maka $(x-2)$ adalah faktor dari $f(x)$.

Ketika kita membagi dengan $(x-a)$, seolah-olah kita `menyumbat'' $x=a$ sehingga faktor $(x-a)$ menjadi nol; yang tersisa hanyalah sisa $R$. Karena itu nilai $f(a)$ tepat sama dengan sisa. 

Cara praktis

Untuk mencari sisa pembagian $f(x)$ oleh $(x-a)$, cukup hitung $f(a)$ dengan substitusi langsung (atau dengan pembagian sintetis jika ingin sekaligus mendapatkan hasil bagi).

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1 (Termudah)

Tentukan sisa pembagian $f(x)=x^2+3x+2$ oleh $(x-1)$.

Pembahasan 

Sisa $=f(1)=1^2+3(1)+2=1+3+2=6$.

\[\boxed{6}\]

Soal 2

Tentukan sisa pembagian $f(x)=x^3+2x^2-x+5$ oleh $(x+2)$.

Pembahasan.

$(x+2)=(x-(-2))$, maka sisa $=f(-2)$.

\[f(-2)=(-2)^3+2(-2)^2-(-2)+5=-8+8+2+5=7.\]

\[\boxed{7}\]

Soal 3

Tentukan sisa pembagian $f(x)=2x^3-5x^2+3x-1$ oleh $(x-3)$.

Pembahasan.

Sisa $=f(3)=2(3)^3-5(3)^2+3(3)-1=2\cdot27-5\cdot9+9-1=54-45+9-1=17$.

\[\boxed{17}\]

Soal 4

Tentukan sisa pembagian $f(x)=4x^4-7x^3+2x^2+x-6$ oleh $(x+1)$.

Pembahasan.

Sisa $=f(-1)=4(-1)^4-7(-1)^3+2(-1)^2+(-1)-6=4+7+2-1-6=6$.

\[\boxed{6}\]

Soal 5

Tentukan sisa pembagian $f(x)=x^5-2x^4+3x^3-x^2+2x-7$ oleh $(x-2)$.

Pembahasan.

\[f(2)=2^5-2\cdot2^4+3\cdot2^3-2^2+2\cdot2-7=32-32+24-4+4-7=17.\]

\[\boxed{17}\]

Soal 6

Diketahui $f(x)=3x^4-2x^3+x^2-5x+4$. Hitung sisa pembagian oleh $(x-5)$.

Pembahasan.

\[\begin{aligned}f(5)&=3\cdot5^4-2\cdot5^3+5^2-5\cdot5+4\\&=3\cdot625-2\cdot125+25-25+4\\&=1875-250+25-25+4=1629.\end{aligned}\]

\[\boxed{1629}\]

Soal 7

Tentukan sisa pembagian $f(x)=2x^5-7x^4+3x^3-4x^2+x-9$ oleh $(x+3)$.

Pembahasan.

Sisa $=f(-3)$.

\[\begin{aligned}f(-3)&=2(-3)^5-7(-3)^4+3(-3)^3-4(-3)^2+(-3)-9\\&=2(-243)-7(81)+3(-27)-4(9)-3-9\\&=-486-567-81-36-3-9=-1182.\end{aligned}\]

\[\boxed{-1182}\]

Soal 8

Jika $f(x)=x^6-2x^5+x^4-x^2+3x-5$, tentukan sisa pembagian oleh $(x-4)$.

Pembahasan.

\[\begin{aligned}f(4)&=4^6-2\cdot4^5+4^4-4^2+3\cdot4-5\\&=4096-2\cdot1024+256-16+12-5\\&=4096-2048+256-16+12-5=2295.\end{aligned}\]

\[\boxed{2295}\]

Soal 9

Diketahui $f(x)=5x^6-3x^5+2x^4-x^3+4x^2-2x+7$. Hitung sisa pembagian oleh $(x+5)$.

Pembahasan.

Sisa $=f(-5)$.

\[\begin{aligned}f(-5)&=5(-5)^6-3(-5)^5+2(-5)^4-(-5)^3+4(-5)^2-2(-5)+7\\&=5(15625)-3(-3125)+2(625)-(-125)+4(25)+10+7\\&=78125+9375+1250+125+100+10+7\\&=88992.\end{aligned}\]

\[\boxed{88992}\]

Soal 10 (Tersulit)

Diketahui $f(x)=x^7-2x^6+3x^5-4x^4+5x^3-6x^2+7x-8$. Tentukan sisa pembagian oleh $(x-10)$.

Pembahasan.

\[\begin{aligned}f(10)&=10^7-2\cdot10^6+3\cdot10^5-4\cdot10^4+5\cdot10^3-6\cdot10^2+7\cdot10-8\\&=10{,}000{,}000-2{,}000{,}000+300{,}000-40{,}000+5{,}000-600+70-8\\&=8{,}264{,}462.\end{aligned}\]

\[\boxed{8{,}264{,}462}\]

Catatan: Semua sisa di atas diperoleh langsung dengan substitusi $x=a$ sesuai pembagi $(x-a)$. Jika diperlukan hasil bagi, Anda dapat menggunakan pembagian sintetis dengan akar $a$ yang sama.