Integral Tak Wajar

Pada kesempatan kali ini saya akan mencoba membahas tentang integral tak wajar. Woow... apaan itu? Ada yang pernah bilang bahwa integral yang wajar aja masih susah apalagi yang tak wajar. Tetapi sebenarnya ada konsepnya integral tak wajar sama saja dengan integral wajar. Hanya saja batas-batas pengintegralannya yang berbeda.

Sebelum menyelesaikan integral tak wajar alangkah baiknya kita mempelajari dulu tentang limit bentuk tak tentu. Nah dalam menyelesaikan limit bentuk tak tentu ini diperlukan pemahaman tentang aturan I'Hopital. Jika anda masih bingung dengan aturan I'Hopital ini, silahkan anda buka kembali buku kalkulus pokok bahasan bentuk tak tentu. Silahkan anda lihat bagaimana aturan I'Hopital bekerja pada bentuk ini.

Dalam buku kalkulus dan Geometri analisis ada tiga macam integral tak wajar. Yaitu:

1.  Integral tak wajar jenis pertama

Pada integral tak wajar bentuk ini sebenarnya sama dengan integral tentu. Hanya saja batas-batas pengintegralannya diperluas sampai pada Tak hingga $(\mathrm{\infty })$. Sebagai contoh

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^b{e}^{-x}dx& =& -e^{-x}{|}_0^b\\ & =& 1-e^{-b}\end{array}$$
Perhatikan bahwa $\underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-e^{-b})=1$. Sehingga dapat kita defenisikan
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}dx=1$$

Defenisi secara umumnya adalah

$$\begin{array}{rcl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx& =& \underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)dx\\ >{\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(x)dx& =& \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$

Jika Limit-limit ruas kanan ada dan memiliki nilai terhingga maka kita dapat mengatakan bahwa integral tak wajar tersebut adalah konvergen. Jika yang terjadi adalah sebaliknya maka integral tersebut divergen.

Contoh

1. Jika memungkinkan hitunglah integral dari ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-x^2}dx}$

Penyelesaian:

Berdasarkan defenisi diatas maka kita mendapatkan
$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-x^2}dx& =& \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{b}x{e}^{-x^2}dx\\ & =& \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{[-\frac{1}{2}{e}^{-x^2}]}_0^b\\ & =& \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\frac{1}{2}{e}^{-b^2}+\frac{1}{2}{e}^0)\\ & =& \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\frac{1}{2}{e}^{-b^2}+\frac{1}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$$
Jadi integral diatas dapat kita simpulkan konvergen dan mempunyai nilai ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

2. Jika memungkinkan tentukan ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin (x)dx}$

Penyelesaian :
$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin (x)dx& =& \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^b\sin (x)dx\\ & =& \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}\cos (x){|}_0^b\\ & =& \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}(\cos (b)-1)\end{array}$$
Limit dari integral diatas adalah tidak ada. Sehingga dapat kita simpulkan bahwa integral tersebut divergen

Bersambung Ke Postingan Berikutnya....