Soal-Soal Tentang Aplikasi Turunan

Pada waktu bulan januari lalu, saya sempat di minta untuk menjawab soal tentang aplikasi turunan yaitu mengenai titik belok, fungsi naik dan fungsi turun. Menurut saya materi tentang aplikasi turunan sudah jarang diajarkan di tingkatan SMA sehingga ketika siswa menemui soal seperti itu pada saat SBMPTN akan sangat kesulitan. Padahal materi tentang aplikasi turunan sangatlah mudah dipelajari. Hanya jika kita tahu dasarnya maka kita akan mudah menjawab soal-soalnya. OK Langsung saja kita bahas soalnya. Cuma 3 nomor saja kok

1.  Grafik Fungsi $f(x)=2x^3-9x^2+12x-1$ naik untuk ....

Jawaban
Fungsi $f(x)=2x^3-9x^2+12x-1$ maka $f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12$. Syarat dari fungsi naik adalah jika $f^{\prime }(x)>0$ sehingga di dapatkan $6x^2-18x+10>0$ atau disederhanakan menjadi $x^2-3x+2>0$ sehingga kita dapatkan faktornya adalah $(x-2)(x-1)=0$ atau $x=2$ dan $x=1$. Karena syarat dari fungsi naik adalah $f^{\prime }(x)>0$ maka kita harus menguji titik kritis tersebut pada garis bilangan sebagai berikut

diperoleh $f\left(x\right)$naik pada $(-\mathrm{\infty },1)\cup (2,\mathrm{\infty })$

2. Grafik fungsi $y=x^3+6x^2+9x+7$ memiliki titik belok di ....

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& x^3+6x^2+9x+7f^{\prime }(x)\\ f^{\prime }\left(x\right)& =& 3x^2+12x+9\\ f^{″}\left(x\right)& =& 6x+12\end{array}$$
syarat perlu untuk titik belok adalah $f^{″}\left(x\right)=0$ maka
$$\begin{array}{rcl}6x+12& =& 0\\ 6x& =& -12\\ x& =& -2\end{array}$$
untuk $x=-2$ maka
\begin{eqnarray*}
f(-2) & = & (-2)^{3}+6(-2)^{2}+9(-2)+7\
& = & -8+24-18+7\
& = & 5
\end{eqnarray*}
Jadi diperoleh titik belok $(-2,5)$

3. Nilai minimum dari fungsi $f(x)=x^3+3x^2-9x+3$ pada interval $-2\le x\le 3$ adalah....

Jawaban
$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& x^3+3x^2-9x+3\\ f^{\prime }\left(x\right)& =& 3x^2+6x-9\end{array}$$
Nilai minimum terjadi jika $f^{\prime }\left(x\right)=0$ sehingga

$$\begin{array}{rcl}3x^2+6x-9& =& 0\\ x^2+2x-3& =& 0\\ (x+3)(x-1)& =& 0\\ x=-3& \text{atau}& x=1\end{array}$$
Karena interval dibatasi pada $-2\le x\le 3$ maka kita ambil nilai $x=1$. Untuk $x=1$ kita dapatkan

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 1^3+3(1{)}^2-9(1)+3\\ & =& 1+3-9+3\\ & =& -2\end{array}$$

Sekian dulu pembahasan dari saya. Nanti kita lanjutkan kembali. Selamat belajar.