Pembuktian Fungsi Gamma

Masih Lanjutan postingan sebelumnya yah mengenai fungsi gamma yang sangat asyik untuk dibahas,,, Postingan sekarang udah mulai masuk kedalam yah yaitu tentang pembuktian fungsi Gamma.... berikut soal-soalnya :

Soal

Dengan menggunakan integral parsial, Buktikan bahwa $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)$

Jawaban :

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(n+1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{n}dx}$

${\displaystyle \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{n}dx={[-e^{-x}{x}^n]}_0^{\mathrm{\infty }}+n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}{x}^{n-1}dx}$

${\displaystyle \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{n}dx=0+n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}{x}^{n-1}dx}$

${\displaystyle \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{n}dx=n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}{x}^{n-1}dx}$

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)}$ ................. (Terbukti kan)

yang memberikan sifat rekusif dari fungsi gamma.

Oyah. dengan menggunakan fungsi Gamma, kita juga dapat mencari nilai $0!$. $0!$ jika kita cari dengan menggunakan fungsi Gamma akan mendapatkan hasil $1$. Tidak percaya ??? silahkan buktikan sendiri.... hohohohoho.. :)