Soal Matematika SMA Tentang Bilangan Berpangkat

Baru-baru ini kita sudah mendengar pemerintah dalam hal ini menteri Pendidikan (Moh. Nuh) mengumumkan tentang kurikulum 2013. Saya sendiri tidak terlalu memantau perkembangan kurikulum 2013 mengingat saya bukan seorang pendidik. Namun kurikulum yang di usung dengan tema pendidikan berbasis karakter ini menuai pro dan kontra dari berbagai pihak. Dan anehnya lagi pro dan kontra tersebut di layangkan oleh para pakar-pakar pendidikan di negara kita.

Sebenarnya apa yang aneh dari kurikulum ini sampai menuai pro dan kontra para pakar-pakar pendidikan ? Jawabnya saya sendiri tidak tahu hehehe. Namun kalau kita lihat memang ada sedikit kejanggalan dalam kurikulum ini.

Tidak usah kita jauh-jauh. Dari mata pelajaran matematika saja untuk SMA saya menemukan penambahan BAB yang cukup banyak yang bisa membuat siswa puyeng belajar matematika. Dari segi buku panduan yang diberikan terkesan masih kurang siap dan banyak tulisan yang salah ketik.

Saya tertarik melihat soal-soal latihan yang diberikan dalam kurikulum 2013 yang menurut saya cukup lumayan untuk tataran siswa SMA. Kalau semua siswa di tuntut untuk mampu menguasai materi dan memecahkan soal-soal dalam buku matematika kurikulum 2013 saya rasa cukup baik. Namun apa mereka mampu. ?

Mungkin pak Moh. Nuh hanya melihat siswa-siswi di daerah perkotaan saja khususnya DKI Jakarta. nah cobalah sekali-kali pak Moh Nuh melihat sekolah SMA di daerah Toili maupun NTT sana. Bahkan siswa SMA pun ada yg tidak bisa membaca.

Wajah bapak Moh. Nuh

Di SMA di daerah Kab. Banggai banyak siswa yang tingkat pemahamannya kurang dan terkesan mengesampingkan pendidikan. Siswa lebih suka hura-hura dan style saja. minat belajar yang cukup kurang mengakibatkan pemahaman matematika yang sangat rendah. Bayangkan saja sudah kelas XI SMA, mencari nilai $x$ dari $3x+8=7$ saja mereka tidak tau. Sangat disayangkan.

Oyah, kembali saya pada judul diatas. Dalam buku matematika Kelas X kurikulus 2013 saya menemukan soal yang cukup menantang bagi para siswa dan saya sempat mengajukan pertanyaan itu kepada siswa dan rata-rata mereka tidak tahu. Saya juga penasaran apakah gurunya juga tahu tentang hal ini. Soalnya begini.

Tentukan nilai dari  $$\frac{1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+5^{-1}+6^{-1}+\cdots }{1^{-1}+3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+{11}^{-1}+\cdots }$$

Saya sendiri cukup tertantang mengerjakan soal ini. Otak atik soalnya akhirnya saya nemu jawabannya. Ternyata cukup mudah saja. Hanya manipulasi aljabar sederhana. Jawaban dari saya begini

Misalkan $P=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+5^{-1}+6^{-1}+\cdots$
Perhatikan juga bahwa
$$1^{-1}+3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+{11}^{-1}+\cdots =P-({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+\cdots )$$
Sehingga

$$\begin{array}{rcl}1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots & =& P-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots )\\ & =& P-\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots )\\ & =& P-\frac{1}{2}P\end{array}$$Karena ${\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots =P-\frac{1}{2}P}$
maka
$$\begin{array}{rcl}\frac{1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+5^{-1}+6^{-1}+\cdots }{1^{-1}+3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+{11}^{-1}+\cdots }& =& \frac{P}{P-\frac{1}{2}P}\\ & =& \frac{P}{\frac{1}{2}P}\\ & =& 2\end{array}$$
Bagaimana ? Apakah anda mempunyai cara lain... Jika anda mau berbagi maka saya sangat senang dan jawaban dari anda akan saya posting di blog ini.

Terus kalau soal yang begini bisa apa ndak ?
Tentukan nilai dari
$$\frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+5^{-4}+6^{-4}+\cdots }{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+9^{-4}+{11}^{-4}+\cdots }=............$$
Yang bisa post disini yah. Caranya sama kok dengan cara diatas.