Melanjutkan Pembahasan Suku Banyak

Pada postingan sebelumnya saya sudah sempat membahas tentang soal-soal suku banyak yang sering keluar dalam Ujian Nasional. Pembahasan yang saya buat tentunya tidak terlalu mendetail antara lain untuk metode substitusi maupun eliminasi tidak saya bahas disini. Jadi langsung saya lompati saja. Tentunya anda sudah mahir dalam materi tersebut. Jika belum mengerti, silahkan anda belajar kembali materi kelas X semester 1.

Pembuatan postingan saya selalu memunculkan spoiler yang dapat menghemat area postingan. Gimana spoiler saya keren kan ? hehe :D . Tujuannya yah agar kita mudah saja membacanya. Tulisan dalam spoiler adalah jawaban atas soal yang diberikan diatasnya. Silahkan klik jawaban untuk memunculkan pembahasannya.

Postingan kali ini juga masih seperti postingan sebelumnya. Tidak ada yang spesial namun sudah agak rumit mengingat membutuhkan daya analisis sedikit. Namun pada dasarnya masih cukup gampang kok. Berikut ulasannya.

11. Suku banyak $f\left(x\right)$ habis di bagi oleh $(x-1)$. Sisa pembagian $f\left(x\right)$ oleh $(x-1)(x+1)$ adalah .......

Jawaban

$f\left(x\right)$ habis di bagi oleh $(x-1)$ diperoleh
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& H\left(x\right)(x-1)+0\\ f\left(1\right)& =& 0\end{array}$$
Misalkan sisa dari pembagian tersebut adalah $Ax+B$. Sementara $f\left(x\right)$ dibagi $(x-1)(x+1)$ mendapatkan
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& H\left(x\right)(x-1)(x+1)+Ax+B\\ f\left(1\right)& =& A+B\\ A+B& =& 0\\ A& =& -B\\ f(-1)& =& -A+B\\ & =& B+B\\ f(-1)& =& 2B\\ B& =& \frac{1}{2}f(-1)\\ A& =& -\frac{1}{2}f(-1)\end{array}$$
Sehingga sisanya adalah
$$\begin{array}{rcl}Ax+B& =& -\frac{1}{2}f(-1)x+\frac{1}{2}f(-1)\\ & =& \frac{1}{2}f(-1)(1-x)\end{array}$$

12. Sisa pembagian $(x^2+ax+b):(x-3)$ adalah 4. Sisa pembagian $(x^2+bx+a):(x-3)$ adalah 10. Nilai $a^2+b^2$ adalah .....

Jawaban

$$\begin{array}{rcl}f\left(3\right)& =& 3^2+3a+b\\ 4& =& 9+3a+b\\ 3a+b& =& -5\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}f\left(3\right)& =& 3^2+3b+a\\ 10& =& 9+3b+a\\ 3b+a& =& 1\end{array}$$
Eliminasi dua persamaan diatas di dapatkan nilai $a=-2$ dan $b=1$ sehingga $$a^2+b^2={(-2)}^2+1^2=5$$

13. Fungsi $f\left(x\right)$ dibagi $(x-1)$ sisanya 3 sedangkan jika di bagi $x-2$ sisanya 4. Jika $f\left(x\right)$ dibagi dengan $x^2-3+2$ maka sisanya adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa pembagian adalah $Ax+B$ Sehingga
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& H\left(x\right)(x-1)(x-2)+Ax+B\\ f\left(1\right)& =& 0+A+B\\ 3& =& A+B\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& H\left(x\right)(x-1)(x-2)+Ax+B\\ f\left(2\right)& =& 0+2A+B\\ 4& =& 2A+B\end{array}$$
Eliminasi kembali persamaan diatas mendapatkan nilai $A=1$ dan $B=2$ sehingga sisanya adalah $x+2$

14. Jika $f\left(x\right)$ dibagi oleh $x^2-2x$ dan $x^2-3x$ masing-masing mempunyai sisa $2x+1$ dan $5x+2$, maka $f\left(x\right)$ dibagi oleh $x^2-5x+6$ mempunyai sisa ....

Jawaban

Misalkan sisa $Ax+B$
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& H\left(x\right)x(x-2)+2x+1\\ f\left(2\right)& =& 2\left(2\right)+1\\ f\left(2\right)& =& 5\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& H\left(x\right)x(x-3)+5x+2\\ f\left(3\right)& =& 5\left(3\right)+2\\ f\left(3\right)& =& 17\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& H\left(x\right)\cdot (x-2)(x-3)+Ax+B\\ f\left(2\right)& =& 2A+B\\ 2A+B& =& 5\\ f\left(3\right)& =& 3A+B\\ 3A+B& =& 17\end{array}$$
Eliminasi kedua persamaan diatas mendapatkan $A=12$ dan $B=-19$ sehingga sisanya adalah $12x-19$

15. Suatu suku banyak $P\left(x\right)$ dibagi oleh $(x^2-1)$ sisanya $(12x-23)$dan jika di bagi oleh $(x-2)$ sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak oleh $(x^2-3x+2)$ adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa pembagian adalah $Ax+B$.
$$\begin{array}{rcl}P\left(x\right)& =& H\left(x\right)(x-1)(x+1)+12x-23\\ P\left(1\right)& =& -11\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}P\left(x\right)& =& H\left(x\right)(x-2)+1\\ P\left(2\right)& =& 1\end{array}$$
karena $(x^2-3x+2=0)$ dapat difaktorkan menjadi $(x-2)(x-1)$
maka
$$\begin{array}{rcl}P\left(x\right)& =& H\left(x\right)\cdot (x-2)(x-1)+Ax+B\\ P\left(1\right)& =& A+B\\ A+B& =& -11(1)\\ P\left(2\right)& =& 2A+B\\ 2A+B& =& 1(2)\end{array}$$
Eliminasi persamaan (1) dan (2) mendapatkan $A=12$ dan $B=-23$ sehingga sisanya adalah $12x-23$

16. Suku banyak $V\left(x\right)$ dibagi $x^2-x$ dan $x^2+x$ masing-masing memberikan sisa $5x+1$ dan $3x+1$. Jika $V\left(x\right)$ dibagi $x^2-1$ sisanya adalah ....

Jawaban

Misalkan sisa pembagian $V\left(x\right)$ oleh $x^2-1$ adalah $Ax+B$
$$\begin{array}{rcl}V\left(x\right)& =& H\left(x\right)\cdot x(x-1)+5x+1\\ V\left(1\right)& =& 6\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}V\left(x\right)& =& H\left(x\right)x(x+1)+3x+1\\ V(-1)& =& -2\end{array}$$
$$\begin{array}{rcl}V\left(x\right)& =& H\left(x\right)(x+1)(x-1)+Ax+B\\ V\left(1\right)& =& A+B\\ A+B& =& 6(1)\\ V(-1)& =& -A+B\\ -A+B& =& -2(2)\end{array}$$
Eliminasi persamaan (1) dan (2) mendapatkan $A=4$ dan $B=2$ sehingga sisanya adalah $4x+2$

Sekian dulu yah... Capek nulisnya.. Setelah ini akan di bahas yang lumayan. Sekaligus akan langsung ke Fungsi komposisi. Selalu kunjungi blog ini yah.... Terima kasih.